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談談進位法 (第 3 頁)

唐文標

 

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.原載於數學傳播第四卷第三期
.作者當時任教於政大應數系
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(三)「十」進位法

人類到了「公制」,全世界共同使用一個數學乃至度量衡制度,以十進位法為基本調度,確是一大進步,但何時開始使用「十」進位法呢?那一個國家地區最先使用呢?已經不可考了。目前許多有關數字及度量衡的故事傳說,恐怕只是神話美化而已。

我國使用數字系統的起源,有

「伏羲作九九之數,以應天道」(《管子》)

「黃帝使……大堯造甲子,隸首作算數。」(《史記曆書索隱》)

或如漢武梁詞畫像,有伏羲執規,女媧執矩之像,認為伏羲女媧始製圓規,方矩。

就以數字系統來論,我國的十進位法還真是頗有明文規定的。漢代徐岳的《數術記遺》記之頗詳,從一到萬皆是極普通的十進位法,自萬以上的命數法,古有上中下三等之不同。

「黃帝為法,數有十等,及其用也,乃有三焉,千等者,億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載。三等者,謂上中下也。其下數者,十十變之,若言十萬為億,十億為兆,十兆為京。中數者、萬萬變之,若言萬萬為億、萬萬億為兆、萬萬兆為京。上數者數窮則變,若言萬萬曰億,億億曰兆,兆兆曰京也。下數淺短,計事則不盡,上數宏廓,世不可用,故其傳業惟以中數耳。」

想來古人實不太可能碰到太大的數字、億兆已足。一般民間使用,常以十萬為一億,採用下數。但清代《數理精蘊》一書,又用四位為一程(節),以萬變,即萬萬為億,萬億為兆等名詞之混淆,純是一習慣使然,尤以應用範圍為關,與進位法觀念恐無大關係。(民國二十年六月,教育部通令,在記數名詞未確定前,將算學上有歧義之億兆等字義暫取消,所有萬以上之數目,即在萬字以上累冠數字,如十萬、百萬、千萬、萬萬、十萬萬等等。)

不過,全世界古代民族,沒有一個採用「完整」的統一進位法的,這一點全因為應用範圍的限制,運用統一進位法實有極大的不便。我國有關道家的記載,便有人視為以八卦為基底八的進位法。

我國度、量、衡制度的實用,《孫子算經》記載:

「度之所起,起於忽,欲知其忽,蠶吐絲為忽,十忽為一絲…… 十丈為一引,五十尺為一端,四十尺為一疋,六尺為一步。」

「稱之所起,起於黍,千黍為一桑,十桑為一珠,二十四珠為一兩, 十六兩為一斤,十斤為一鈞,四鈞為一石。」

「量之所起,起於粟,六粟為一圭,十圭為撮,……十斗為斛,斛得六十萬粟。」

這些以蠶吐絲之長度為起點,用黍為重量之開始,和粟的體量大小為容積的單位,自然是先民們指物命名,就地取材之意,由於蠶絲、黍和粟的固定值,先民依據經驗便採取為度量衡之基底了。即使在時刻方面,一天或為十二時辰,或為百刻。可是百刻並不通行,古今多用十二時辰,想跟現實生活有關。

一直到現在,我們還不能完全擺脫除十進位以外的數字系統,這種緣故恐怕並非偶然,而是跟實用有關。我們不妨想想:

(1) 如果目前通用的「分秒」是可肯定時間單位,其時間長度合乎現實應用, 那麼改為十進位法有什麼效果,是否改用為:

十秒為一口氣,即喘一喘氣所需知時間單位。

十口氣為一口茶,即喝一口茶所需時間,即今一分四十秒。

十口茶約一千秒,正常人走路一公里約需時間……

自然目前用時、分、秒來劃分時間,並沒有很充分的理由,僅需要考慮時間單位的長短而已。

目前應用的十進位之攝氏溫度計,及非十進位的華氏溫度計,究竟那一種比較更適合呢?有些人已指出,攝氏溫度單位,似乎大了一點。

   

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編輯:洪瑛 最後修改日期:4/26/2002