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人怎樣求得面積? (第 6 頁)

黃武雄

 

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.原載於數學傳播第二卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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六、求積問題的歷史意義

看到前面求積問題這樣綿延兩千年的進展過程,有人或許要想到三等分角的問題。三等分角的問題(代表柏拉圖三大幾何難題)固然也懸決兩千年而在十八世紀才被解決,證明它不可能有解。但兩個問題,在人類文明史上的意義有若天地雲泥之別,截然不同。

求積問題來自社會發展的實際需要,各民族都不約而同長時間在為它獻出心力。但三等分角則來自希臘雅典時期柏拉圖一干人的智力遊戲,柏拉圖不曾正視社會需要,自己限制作圖的工具來束縛自己,中國人、印度人、日本人在同程度文明的時間堙A並沒有出現這類問題。沒有任何一個好的數學家,任何一個明白數學功用的數學工作者,對這一類問題發生過興趣。

求積問題在兩千年求解的過程中,不斷提供了一系列的方法與概念,刺激數學往高處發展;窮盡法產生了人類對極限概念的初期認識,對於實數論的產生有一定的作用,無限求和法更引起人類去探求無限級數的求和,這些都成為今日數學分析的主題。另一方面,求積問題也大大推展了幾何學的發展。

可是三等分角問題,自柏拉圖提出以來,兩千年間看不出對於數學進展有何貢獻,若有,那便只是基礎的平面幾何上圓與直線的關係罷了。甚至當它得到解決時,也不是因要解決它而得解決。作為代數學主流的方程式論,發展到一定階段,有了拓廣體的概念後,三等分角的問題只成了一個輕鬆的習題,便被證明為不可解了。

比較求積問題與三等分角問題的歷史發展,對於數學的社會功用這項長年受到爭議的論題,會幫助我們得到若干有力的啟示。

對數學史有興趣的人,也可以從這段求積問題的進展中窺知人類文明史中一些重要的概念與方法如何得來。這個問題,網羅了十七世紀以前兩千年來所謂「最優秀」的頭腦,但它的成長從今天看來,竟是這般遲緩!假如牛頓生在 Archimedes 的時代,不可能就比 Archimedes 突出多少,更不可能在那時的背景下發明微分。微分的概念來自力學,來自哥白尼 (Copernicus),刻卜勒 (Kepler) 以前長年纍積下來的天文資料。天文觀察需要工技方面的配合,工技的成熟需要像文藝復興時期背後種種社會與經濟的條件, 沒有這些條件,便沒有牛頓的流數論。反過來,如果這些條件已經成熟,就是牛頓不出生,也有萊布尼茲,沒有萊布尼茲也有其他人會發明微積分。

同樣,設使這些條件出現在中國,微積分便會孕育在中國,劉徽、祖沖之、秦九韶、沈括都可能變成牛頓,變成萊布尼茲。

數學的發展與社會發展的需要及當時已具備的條件息息相關,如果沒有這些成熟的背景,世界上不論哪個天才,哪個民族,都不可能為人類文明帶來像微積分這般重大的進展。

主要參考資料

1. 李約瑟(Joseph Needham):《中國之科學與文明》第四冊(傅溥譯),臺灣商務印書館。
2. Dubbey, J. M.《Dvelopment of modern Mathematics》, Butterworths (1970), London.
3. Kline, M. 《Mathematics Thought from Ancient to Modern Times》, Oxford(1972), New York.
4. Libbrecht, U. 《Chinese Mathematics in the 13 Centery》, MIT Press(1973), Cambridge and London.
5. Smith, D.E. & Mikami, Y. 《A History of Japanese Mathematics》, Chicago (1914).

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002