人怎樣求得面積？ (第 4 頁)

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人怎樣求得面積？（第 4 頁）

黃武雄

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．原載於數學傳播第二卷第二期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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四、動態處理的基礎

求積問題是改用動態的處理方式才得到普遍方法的。換句話說，力學刺激了「微分」概念的產生，而求積問題便依賴微分而得以解決。

設有一變量 s，因時間 t 而變，（牛頓原來稱 s 為 fluent）。那麼 s 對於時間的變化率 $\dot{s}$ ，便稱為 s 對 t 的「微分」（derivative, 牛頓流數論中稱它為流數 fluxion）。比如說某質點在一條座標直線上運動，s=s(t) 表示 t 時刻這質點 P 的座標，（如圖6）通常稱這種意義下的 s 為位移 (displacement)，那麼 s 的變化率 $\dot{s}$ 便是所謂的速度。

圖六

但速度與位移有什麼關係？如果質點是等速在運動時，每一時刻 t 的速度都一樣是

$\begin{displaymath} \dot{s}(t)=\frac{s(t+h)-s(t)}{h}\eqno{(1)} \end{displaymath}$

其中 h 是任意截取的時間區段。也就是從 P 走到 P' 的距離（往右為正，往左為負）除以所花的時間 h。

但運動不一定等速時，(1)式右端

$\begin{displaymath} \frac{s(t+h)-s(t)}{h} \end{displaymath}$

這個量，與所取的 h 的長短有關，這個量稱為牛頓商 (Newton quotient)，事實上這個商代表的是自 t 時刻起在 h 時間內的平均速度。這段時間內速度仍然有快有慢，若要考慮 t 時刻的瞬間速度，所取的時間 h 應該越短越好，但短到什麼程度呢？1 秒嗎？0.1秒嗎？0.01秒嗎？即使是取0.01秒，在這短暫的0.01秒間，如果碰上精密的質點運動，仍可能快慢交迭了許多次，因此還不好就取它來代表 t 時刻的瞬間速度，最後牛頓、萊布尼茲及其同時期的人，引入了無限短時間的概念，而指說速度便是在那無限短時間內的變化率。

可是這個無限短（或無限小 infinitesimal）的概念事實上有很多爭議（萊布尼茲用 monad 這個字來描述它），反對派的抨擊相當強烈而持續了幾近一個半世紀，主要來自教會（以哲學家 Berkeley 主教為代表）。不管怎樣，等到實數的嚴格基礎建立，極限有了清楚的定義以後，一般人已經接受了用牛頓商的極限作為速度的說法；或說：t 時刻的瞬間速度 $\dot{s}(t)$ 便是

$\begin{displaymath} \frac{s(t+1)-s(t)}{1}, \;\; \frac{s(t+0.1)-s(t)}{0.1}, \;\; \frac{s(t+0.01)-s(t)}{0.01}, \;\; \frac{s(t+0.001)-s(t)}{0.001} \end{displaymath}$

這個數列的極限 ^註6 ，嚴格地寫下來

$\begin{displaymath} \dot{s}(t)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \end{displaymath}$

對於一般的函數 y=f(x)，考慮 y 對 x 的變化率時，我們也下這樣的定義：

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \eqno{(2)} \end{displaymath}$

當 y=f(x) 是一些基本函數，如多項式、三角函數、指數函數及它們的反函數拼在一起的函數時，(2)式是容易計算的。例如用二項定理，人很快算出來當 f(x)=x² 時

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{... ... 0}\frac{h(2x+h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}(2x+h) \\ &=& 2x \end{eqnarray*}$

當 f(x)=x^m 時

$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^m-x^m}{h} \\ &=& \... ...& \lim_{h \rightarrow 0}(mx^{m-1}+h\{\cdots\}) \\ &=& mx^{m-1} \end{eqnarray*}$

我們導出了三個微分的基本運算法則，知道

(i) $(\alpha f(x)+\beta g(x))'=\alpha f'(x)+\beta g'(x)$ [指明微分的操作是線性的]

(ii) $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \;$ [所謂Leibniz 法則]

(iii) ${\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x))= \Big[ \frac{df}{du} \Big]_{u=g(x)}\cdot\frac{dg}{dx} }$ [所謂連鎖法則 chain rule]

從而算得微分表如下

$\begin{displaymath} \begin{tabular}{r\vert l\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\... ...mily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}})$} \end{tabular}\end{displaymath}$

將這個表又配上三個基本運算法則，我們可以計算所有基礎函數的微分。微分竟是這樣容易計算的東西。

現在我們回到主題。看看微分法又怎樣把我們的求積問題化成動態的處理。

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編輯：李渭天 ∕ 校對：陳文是 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002