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人怎樣求得面積? (第 3 頁)

黃武雄

 

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.原載於數學傳播第二卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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三、求積問題發展中的前兩個時期

論者常將積分的發展分成三個時期:

(i) 窮盡法時期:主要是希臘文明與十四世紀以前的中國數學文明。以多角形逼近較複雜的一塊面積,在空隙之間填塞新的小三角形或小長方形,增加多角形的邊數。人物以劉徽、祖沖之、Eudoxus、Euclid及 Archimedes 為代表。

(ii)無限求和法時期:主要是文藝復興以後,牛頓流數論出現以前,所作的一些努力,本質上仍然是窮盡法的延續,用長方條的聯集去逼近原來圖形,但不再一味填塞空隙,長方條本身的長度寬度都繼續在變動,以使誤差趨於 0,無限求和的概念立足於 Cavalieri 原則(1635年),人物自Cavalieri、村松茂清開始,尚有野澤、澤口一之、John Wallis、Fermat。

(iii)微分法時期:自牛頓、萊布尼茲正式總結當時的微分學起,處理求積問題跨入了新的階段。

我們認為:從第一時期到第二時期,概念上是有了若干程度的進步。事實上,無限求和法背後已蘊藏了微分的概念,但在方法上求積問題還停留在個案處理的階段,因此就方法論的觀點來看,第一、第二兩個時期仍可合併為一個階段,我們舉了求拋物線面域的例子,分別說明兩個時期的代表人物 Archimedes 與 Fermat 怎樣計算其面積。

例1.(西元前兩三百年 Archimedes 的求法)

A 為拋物線 $y=x^{\frac{1}{2}}$,與兩直線 x=by=0 所圍成的面域,其面積仍用 A 代表,考慮一系列的面積(如圖3):$\triangle OBR$ 四角形 OBRP1, 六角形 OBRP2P1P2',……。這 P1M1,平行於水平軸,M1OR 中點,同樣 P2 M2P2' M2',平行於水平軸,M2M2' 分別為 P1ROP1 中點……。我們看到這一系列的面積逐漸逼近所求的拋物線面域 A,其間空隙一步步由小小的三角形填塞。



圖三



圖三之一

現在我們來算算小三角形的面積,比如說取 $\triangle P_1P_2R$,Archimedes 在他的《Quadrature of the Parabola》一書中觀察到拋物線過 p2 點的切線恰好平行於 P1 R,易知

\begin{displaymath}
\triangle P_1P_2R=\frac{1}{8}\triangle OP_1R
\end{displaymath}

[若直接用座標計算,亦得: $R=(b,\sqrt{b})$, $M_1=(b/2,\sqrt{b}/2)$, $P_1= (b/4,\sqrt{b}/2)$, $M_2=(5b/8,3\sqrt{b}/4)$, P1M1=b/4, P2M2=b/16,而知 $\triangle OP_1R = \sqrt{b}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{4}$, $\triangle P_1P_2R = \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{16} \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \triangle OP_1R/8$],這個關係在逐步逼近時仍然保持,因此 A 的計算變成了求等比級數的問題,得

\begin{eqnarray*}
A&=&\triangle OBR+\triangle OP_1R+ 2\triangle P_1P_2R+\cdots \...
...frac{1}{8^3}b\sqrt{b}+\cdots \big\} \\
&=&\frac{2}{3}b\sqrt{b}
\end{eqnarray*}


雖然限於當時條件,Archimedes 對上述無限級數求和的過程不太嚴格,但他的估計是對的。

例 2.(十七世紀初 Fermat 的求法) 註5

與例 1 同樣,A 是由拋物線 $y=x^{\frac{1}{2}}$x=b, y=0 圍成的面域。(如圖4)



圖四

可以看出

\begin{displaymath}
R_1+R_2+R_3+R_4+\cdots
\end{displaymath}

在逼近於 A,這裡 e 是一個接近於 1 但小於 1 的數,當 e 越接近 1 時,空隙的陰影部份會越來越小(讀者不妨取 e=0.9,再取 e=0.99,畫圖比較看看)。現在先固定取好 e 值,得

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ R_1+R_2+R_3+R_4+ \cdots } \\
&=& (eb)^{\frac{1}{2}...
...c{1}{2}}] \\
&=&e^{\frac{1}{2}}\frac{(1+E)}{(1+E+E^2)}b\sqrt{b}
\end{eqnarray*}


然後讓 e 趨於 1,這時 E 也就趨於 1,故

\begin{displaymath}
R_1+R_2+R_3+\cdots \quad \mbox{{\fontfamily{cwM9}\fontseries...
...ntseries{m}\selectfont \char 107}} \quad \frac{2}{3}b\sqrt{b},
\end{displaymath}

此即

\begin{displaymath}
A=\frac{2}{3} b \sqrt{b} \qquad \mbox{[{\fontfamily{cwM2}\fo...
...us0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 95}]}
\end{displaymath}

現在我們將這兩個時期的求積方法做個一般的說明:對於一塊面域 A,如果邊界曲線是連續的話, 那麼取一些包含於 A 的小長方形或小三角形 R1, R2,cdots 等,讓它們不相重疊而逐次填滿整塊面域 A 的內部:



圖五

然後設法適當調整 R1, R2, R3, cdots 等,或直接填加新的小長方形或三角形,目的在使空隙(陰影部份)逐漸縮小而趨於烏有,而計算

\begin{displaymath}
R_1+R_2+R_3\cdots
\end{displaymath}

的極限值,作為所求的面積 A。特殊的情形如該面域恰為一條函數曲線 $y=f(x)\geq 0$x=ax=by=0 所界定的範圍時,上述式子正好給出了所謂的 Riemann 積分的定義,即

\begin{displaymath}
A=\int_a^b f(x)dx \; \equiv \; \lim\sum_{i=1}^n f(\bar x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})
\end{displaymath}

此間 $\bar x_i$f(x) 在區間 [xi-1,xi] 上的最小值,而 $a=x_0<x_1\cdots <x_n=b$,且極限 lim 是指在 $\min\{ x_i-x_{i-1}\,\vert\,i=1,\cdots,n\}$ 趨於 0 時,長條和

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^n f(\bar x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})
\end{displaymath}

的極限值。

雖然這是一個良好的積分定義,但要實際求出 $R_1+R_2+\cdots$ 之值,通常非常困難,只當面域 A 相當特別時,才可望設計一個可行的算法。上述例子 Archimedes 與 Fermat 的求法所以成功,是因為在拋物線的情形下,長條和可以化成等比級數來求。若邊界是其他曲線時,長條和就不見得這般容易計算。

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002