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人怎樣求得面積? (第 2 頁)

黃武雄

 

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.原載於數學傳播第二卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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二、微分與積分

可是只從概念上知道一塊面積,可用多角形或小長方形的聯集來逼近並沒有解決求積問題。窮盡法只能用來計算少數特定的圖形,如直線、圓、拋物線或 $y=x^{\frac{p}{q}}$ 等類曲線所圍成的區域及空間中球面、圓錐等的面積體積。至於一般的求積問題,對於十七世紀以前的人類,仍沒有一套普遍的方法。如果硬將概念與計算拆成兩個層次,積分該說是易懂而難算

反過來,微分是難懂而易算,直到十七世紀人類才在某種特定的社會條件下認識了微分。更值玩味的是從牛頓(1642∼1727)完成《De Analysis》(約在1696年)及萊布尼茲(Gottfried von Leibniz, 1646∼1716)在《Acta Eruditorum》發表他微積分的第一篇文章以後兩百年間,微分的計算雖已廣泛應用到數學與其他相關科學,但微分的概念仍找不到相對嚴格的定義。可喜微分的概念雖然艱澀,但它的計算與積分正好相反,非常簡單明白。基於這個特點,在微分發明之後數學的發展進入了一個新的紀元。迄今數學的主要部門,連續數學 (continuous mathematics) 一直脫不開它的應用,甚至形式上較為簡易的離散數學 (discrete mathematics) 中很多分支也因借用微分計算的類推而得以發展 註4

同樣求積問題因借助微分的計算得以全面發展,這塈畯怑n說明的正是這一個過程。固然,所謂的微積分基本定理是介於微分與積分間的橋樑,它將求積的問題化成微分的問題,但是這條橋樑,畢竟是自然易明。真正難產的還是微分本身

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002