微分方程

Differential Equation

  

 

十七世紀後，自然科學與技術蓬勃的發展，一個核心的因素是微積分的發明，而微積分之所以能廣泛地應用在各科學課題，則是因為這些問題經常被化歸為解某微分方程的問題。因此，微分方程成為整個十八與十九世紀數學發展的主調，其中包括各種重要微分方程解的研究，求解方法的發展，一般理論的萌芽，在經由反饋而催生新的數學領域。


例子

底下是一些微分方程的例子

(1) $\frac{dy(x)}{dx}=x$
(2) Malthus人口方程：


\begin{displaymath}\frac{dP(t)}{dt}=\lambda P(t),\lambda\in R \end{displaymath}

(3) 虎克定律：

\begin{displaymath}\frac{d^2y}{dx^2}=-\kappa y \end{displaymath}

(4) 牛頓萬有引力方程

\begin{displaymath} \overrightarrow{X}''=-C\cdot\frac{\overrightarrow{X}}{\vert\vert\overrightarrow{X}\vert\vert^3} \end{displaymath}

其中 $\overrightarrow{X}(t) = (x(t),y(t),z(t))$, $\vert\vert\overrightarrow{X}(t)\vert\vert^2=x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)$, $\overrightarrow{X}$ 代表相對的位置向量，例如行星之於太陽。
(5) d'Alembert 波動方程：

\begin{displaymath}\frac{\partial y(x,t)}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial y(x,t)}{\partial t^2}\end{displaymath}

(6) 勢方程或 Laplace 方程：

\begin{displaymath}\Delta V\equiv\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0\end{displaymath}

其中 V(x,y,z) 為空間位置函數。
(7) Fourier 熱傳導方程：

\begin{displaymath}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{\kappa^2}\Delta T\end{displaymath}

$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$,T(x,y,t) 溫度函數。
(8) Largrange 最小曲面方程：

(1+q2)r-2pqs+(1+p2)t=0

其中 z=z(x,y) 為曲面之函數式， $p\equiv\frac{\partial z}{\partial x}$, $q\equiv\frac{\partial z}{\partial y}$, $r\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $s\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$, $t\equiv\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$。
(9)Maxwell 方程式：

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{lll} \mbox{curl} H&=&\frac{1}{c}\fra... ...\epsilon E)&=&\rho\\ \mbox{div}(\mu H)&=&0 \end{array}\right. \end{displaymath}

由這些例子，我們知道微分方程就是指一些函數的方程式或方程組，而且式中還包括了這些函數的導函數或偏導函數。

 
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微分方程的一些基本分類

如果在方程式中，我們關心的函數都是某單一變數的函數（例如(1)、(2)、(3)、(4)），則稱為常微分方程（ODE, ordinary differential equation，在物理系統中最常見的變數是時間 t）；不然稱為偏微分方程（PDE, partial differential equation）；如果方程式不只一個，則通稱為微分方程組（例如(4)、(9)）；一個滿足微分方程的函數稱為一個解，通常微分方程的解並不唯一，經常要給定恰當的起始條件才能確定：如果微分方程的解，滿足疊加原理（或稱線性條件）

若 F(x),G(x) 為解，則 $\alpha F(x)+\beta G(x)$ 也是解， $\alpha,\beta \in \mathbf{R}$

則稱為線性方程，（如(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(7)），不然則稱為非線性方程（(4)、(8)），線性常微分方程組，數學家已經非常了解它們的性質，線性偏微分方程也有許多研究，但是非線性則相對地要困難許多。

   
 
歷史

最早談及微分方程的數學家是 Huygens 與 Leibniz，最先以微積分技巧處理微分方程可能是 James Bernoulli 的等時曲線問題（牛頓的方法是幾何的），但是在早期分析史上最重要的兩個問題來源是

(1) 弦震動問題：
它在與 ODE 的簡諧運動方程或波型方程（形如(3)）有關，在 PDE 則是波動方程。弦震動問題並引發 d'Alembert、Euler、Danial Bernoulli 關於作為起始條件的弦函數可以具有什麼性質的論戰。這次爭論最起碼有兩個意義： (一)它讓數學家意識到非解析函數的重要，並省思函數一詞的意義（見函數）。 (二)藉由 D. Bernoulli 猜測弦函數可以表成無窮三角級數和，開啟後來所謂 Fourier 級數大門（見Fourier）。

(2) n 體問題：
由牛頓重力定律，探討 n 個星球彼此的作用歷程，就是天體力學中的 n 體問題。當 n=2 時，牛頓已充分解出，並推導出 Kepler 的行星運動定律（參看行星運動三大定律)，$n \geq 3$ 的問題沒有一般解，因此刺激了一系列天體問題的研究，Euler、Laplace、Lagrange 都有重要的貢獻，到了十九世紀末，經由 Poincaré 的新觀點，開始微分方程的定性研究，並開啟所謂動力系統的領域（渾沌即為其中一支）。另外由於考慮星球總引力，也導出了所謂的 Laplace 方程（即(6)），相同的想法也出現在電磁學中。

有意義而且影響深遠的微分方程來源，主要是物理與幾何，除了前面所列舉的方程外，舉例來說還有，Euler 以及 Navier-Stokes 的流體力學方程，愛因斯坦廣義相對論的愛因斯坦方程，量子力學中的 Schördinger 方程，Dirac 方程，幾何上的測地線方程，最小曲面（子流形）方程等等。

相當多的微分方程都可以用一種系統性的看法來推導出來，這就是稱為函數空間「微積分學」的變分學（加上最小作用原理）。另外在解決 PDE 問題時可以利用對稱性，分離變數，將問題化歸為 ODE 的問題。

   
 
方法

解決 ODE 的最基本方法是微積分基本定理，例(1)是顯然的，例(2)可以經由分離變數，變成

\begin{displaymath} (\ln P)'=\lambda t\quad\Rightarrow\quad P=c\cdot e^{\lambda t} \end{displaymath}

n 階線性微分方程組的求解，藉由線性代數與特徵方程式原則上可以說是清楚了。但是要求「確解」，即使是例(1)這種類型的方程也力有未逮，例如 $\frac{dy}{dx}=\sin^2x$。 解決這個問題的方法，首先可能是重新定義所謂的特殊函數 (special function)，例如Bessel 函數，Legendre 函數，以及採用無窮級數法。而 PDE 的問題通常就更困難了。

因此後來在所謂的求解意義上發生了兩類轉折

(1) 所謂存在性（或加上唯一性）的解決方式，論證在某些特定的條件下，解一定會存在，但是通常並不知道解真正的模樣，在 ODE 最基本的是下述定理：

存在唯一性定理. 如果 f(t,y) 在 (t0,y0) 上連續，則一階微分方程

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} y'(t) \;=\; f(t, y(t)) \\ y(t_0)\;=\; y_0 \end{array}\right. \end{displaymath}

有解且僅有一解。

在 PDE 則有 Cauchy-Kovalevskaya 存在性定理。由於存在性定理的需求，也促進泛函分析的發展（當然另一個來源是量子力學）。

(2) 另外則是採用數值計算的方式，在已知解存在的情形下，以最有效率的方式，來求近似解，最簡單的例子是 ODE 中的歐拉法。由於廿世紀中期之後電子計算機的發達，運用數值方法來求微分方程的解，已經是一們相當專門的學科。

   
 

（撰稿：翁秉仁／台大數學系）

相關網頁：
數學與科學：行星運動三大定律（曹亮吉）
數學與科學：生態學之 Lokta-Volterra 模型（翁秉仁）
數學與科學：傳染病之擴散模型（翁秉仁）
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編輯：李渭天 最後修改日期：9/18/2001