傳染病之擴散模型

翁秉仁

首頁 | 搜尋

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

註釋

永久免疫的傳染病

底下我們要說明，在傳染病的傳播模式中也會出現 Logistic 模型。假設有一種傳染病，接觸便會感染，而且感染後便能免疫永不再犯，因此在時間 t，某城市的所有人口 M 中，可分成已感染人口 P(t) 與未感染人口 M-P(t)，設

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcll} I(t) &=& \frac{P(t)}{M} & (\mbox... ... 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MhQ\char 48}}) \end{array}\right. \end{displaymath}$

接著假設 η 是在此城市中，每人每天平均接觸的人數，則病人（感染者）每天的增加率為

每個病人平均每天接觸的健康者比率 × 總病人數＝ $\big( \eta \times S(t) \big) \times \big( M \times I(t) \big)$

所以使用連續模型，就得到

$\begin{eqnarray*} && (M \times I(t))' \; = \; \eta \cdot S(t)\cdot M\cdot I(t) ... ...Longleftrightarrow && I'(t) \; = \; \eta \cdot I(t)\cdot(1-I(t)) \end{eqnarray*}$

這是一個 Logistic 模型。

習題：

若考慮 $\lambda= \frac{\eta}{M}$ ，說明此模型可以改寫成我們更熟悉的樣子：

$\begin{displaymath} P'(t)=\lambda P(t)(M-P(t)) \end{displaymath}$

(Hint: $P(t) = M\cdot I(t)$ .)

寫成 I(t) 的好處是城市真正的人口數 M 消失了，比例的變化才是重要的，所以由前章的分析，我們知道解曲線 I(t)（當然 0<I(t)<1）是一個 S 型曲線，當 $I(t)=\frac{1}{2}$ （即半數人口被感染時），疫情最猛烈。

習題：

: (1) 設 $I(0)=\frac{1}{1000}$ ，視 η 為參數，求 I(t)。
: (2) 求疫情最嚴重（即 $I(t)=\frac{1}{2}$ ）的時間 t^*。
: (3) 說明 η 大小與 t^* 相應變化的關係。

（Ans. (1) $I(t)=\frac{1}{1+999e^{-\eta t}}$ ； (2) $t^*=\frac{\ln999}{\eta}$ ；(3) 反比）。

註：這說明在城市或人口密集處，由於 η 值較大，傳染病疫情的擴散程度遠快於鄉村，因此都市的公衛部門在控制疫情時，時間壓力更大。

習題：: 台北市發生傳染病，其 η 由資料中估計為 1.7，台北市人口設為 250 萬人，假設患病人數在 1 月 15 日時為 5 人，請問什麼時候是患病人數增加最快的時刻？又什麼時候此傳染病會進入「尾聲」（假設定義為 $\frac{999}{1000}$ 人口都得過此病？）
（Ans. 1 月23日；1 月27日.）

對外搜尋關鍵字：
．Logistic模型
．平均值定理

非永久免疫的傳染病

當然不是所有的傳染病都能永久免疫，病人在治癒後，有可能再重新感染病情，這時我們需要修改模型為

$\begin{displaymath} \big(M\cdot I(t)\big)'= \big(\eta\cdot S(t)\big) \big(M\cdot I(t)\big) - \sigma \cdot M\cdot I(t) \end{displaymath}$

其中 η 同前，σ 表示每日治癒的人數比率，因此 $\frac{1}{\sigma}$ 表示這種傳染病的（平均）病期（仔細想想為什麼？）。我們得到一個新的方程式

$\begin{displaymath} I'(t)=\eta I(t) \big(1-I(t)\big)-\sigma I(t) \end{displaymath}$

原式可以改寫成

$\begin{eqnarray*} I'(t) &=& (\eta -\sigma)I(t)-\eta I(t)^2 \\ &=& \eta \cdot I(t)\cdot \Big( \big( 1- \frac{\sigma}{\eta} \big) -I(t) \Big) \end{eqnarray*}$

這也是 Logistic 模型。唯一的例外是 $1-\frac{\alpha}{\sigma}=0$ （即 $\sigma=\eta$ ）時。

這裡出現一個重要的指標：接觸數 β，定義成

$\begin{eqnarray*} \beta \;\; \equiv \;\; {\frac{\eta}{\sigma}} &=& (\mbox{ {\Mb... ...t{\MaQ\char 65}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\char 98} } \end{eqnarray*}$

而且 $1 - \frac{\sigma}{\eta} = 1- \frac{1}{\beta}$ 。

習題：

說明 I(t) 的解可寫成

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{cl} \frac{1}{\frac{\beta}{\beta-1}} ... ...{1}{\eta t+\frac{1}{I(0)}} & \quad \beta=1 \end{array}\right. \end{displaymath}$

我們依 β 值分成三種情況來討論：

(1) $\beta <1$ （病期中平均接觸人數少於 1 人）。

則 $1 -\frac{\sigma}{\eta}=1-\frac{1}{\beta} <0$ ，圖形如下左圖，這表示即使原來有 100 % 的人患病（I(0)=1），但是由於 $\beta <1$ ，病人被治癒後，再重新染病的機會不大，慢慢的所有人就康復了。

$\beta <1$ 、 $\beta = 1$ 、 $\beta >1$

(2) $\beta = 1$ （病期中平均接觸人數為 1 人）。

這是邊界情況。由圖知，所有人都會康復，只是康復的速率看起來比(1)的情況要緩慢。

(3) $\beta >1$ （病期中平均接觸人數超過 1 人）。

這表示疫情仍然在有效地擴散，而且最後患病比率會趨於某大於 0 的穩定值 $1-\frac{1}{\beta}$ ，不會消失。

因此為了消滅疫情，重要的是要將 β 值調成 <1，但 $\beta =\frac{\eta}{\sigma}$ ，因此最好能

: (1) 減小 η，亦即使平均每日接觸數變少，所以病人需要隔離。
: (2) 加大 σ，亦即縮短傳染病的病期，譬如說發明新藥，新治療法等等。

這些都與常識完全符合。

另外，這一種癒後不會再感染的傳染病，如果在人類社會中已經歷史悠久，那麼它通常與人類之間已經達成某種平衡，這種疾病的特徵是它在長期流行的區域內既不會致命也不會絕跡（這就是 $\beta >1$ 的情況，想想普通拉肚子，感冒等）。但是，如果這種疾病被傳染到從未接觸它的人群中，可能導致嚴重的疫情，甚至改寫歷史 ^註1 。

更精緻的傳染病模型

前面曾經提到兩種傳染病模型，第一種模型，將所有人分為未被傳染者與已傳染者，中間沒有什麼治療程序，到最後所有人口都會染病（因此大概不能稱之為病）。第二種模型，處理類似感冒，拉肚子的傳染病，傳染病治癒後並沒有免疫力，因此在公共衛生上必須施行某種程序，控制傳染病的傳播。

本節要處理的是被另一種情況：許多傳染病，如痲疹，天花在患病治癒後，有很高的免疫力，因此被治癒的人與未被傳染者不能視為同一種群體（如第二種模型）。因此我們必須將所有人分成三種：健康者（人口比例 x(t)），病人（人口比例 y(t)），治癒者（人口比例 z(t)）。就像第二種模型，這些函數應滿足下列微分方程組。

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x'=-\alpha xy\\ y'=\alpha xy-\beta y\\ z'=\beta y \end{array}\right. \end{displaymath}$

其中， 0 < x(t), y(t), z(t) < 1， x(t)+y(t)+z(t)=1， $\alpha>0$ 是每人每天接觸的人數， $\beta > 0$ 是每天治癒的比例，如前， $\frac{1}{\beta}$ 可看成平均病期，並定義病期平均接觸數 $\eta= \frac{\alpha}{\beta}$ 。

習題：: 討論 x(t), y(t), z(t) 等於 0 或 1 等邊界情況的解及其意義。

例：台北市發生流行性感冒（免疫期較長的病）,由公衛資料知道， $\alpha =2$ ，且 $\beta =0.4$ ，請討論此傳染病之擴散行為。

接觸數 $\eta =\frac{\alpha}{\beta}=5$ 。但是在這個模型裏，更有意義的指標應是（開始時）病期平均接觸之健康人數（暫稱有效接觸數）， 5 x x(0)=5x₀，直覺上可猜測如果 5 x₀<1，則傳染病應該較難擴散開來。

設 z₀=0，令 x₀=0.99, 0.2, 0.1，各對應於有效接觸數 >1, =1, <1 的情況，用歐拉法作圖得（紅線為 x(t)，綠線為 y(t)，藍線為 z(t)）：

由左至右 x₀=0.99，x₀=0.2，x₀=0.1

注意到當 $x_0\leq \frac{1}{5}=0.2$ 時，受傳染人數 y(t) 果然沿路遞減，而 x₀=0.99 時，y(t) 先上升再下降，顯示傳染病擴散的趨勢。當然一開頭就假設，正感染者佔了大部分比例似乎是一件荒謬的事情，正常的情況應該是 x₀ 接近 1，y₀ 接近於 0，因此流行性感冒的擴散是無法避免的。

習題：: 用常識解釋為什麼當 y₀ 大時，y(t) 會遞減。

習題：: 底下是在相同起始條件 x₀=0.99，y₀=0.01 時，不同的接觸數 $\eta=2$ （左圖）， $\eta=16$ （右圖）所對應的疫情曲線圖，我們發現接觸數越大，疫情傳染的範圍越大，速度越快。請用常識說明之。

由前例圖形討論，我們發現

: (1) y(t) 無論如何會趨近於 0。
: (2) （假設 $\eta >1$ ）
$1>x_0>\frac{1}{\eta}$ ，則 y(t) 會遞增再遞減（傳染病擴散）。
$x_0\leq \frac{1}{\eta}$ ，則 y(t) 遞減（傳染病不擴散）。

底下我們利用簡單的定性觀察法，來解釋這個現象。

(1)的解釋：（分成四點來說明）

: (i) （在傳染病期間，未被感染的人當然會遞減）
由於 $x'=-\alpha xy$ ，而且 x(t), y(t)> 0。所以 x(t) 會一路遞減到某平衡比例 $x_{\infty}$ ，當然這裡不能排除 $x_{\infty}$ 可能等於 0 的可能性。
: (ii) （因為有免疫力，治癒的人數一路攀昇）
$z'=\beta y$ ，而且 $z(t)\leq 1$ 。所以 z(t) 一路遞增到某平衡比例 $z_{\infty}$ 。
: (iii) （被傳染人數也會趨於平衡）
這是因為 x(t)+y(t)+z(t)=1，所以 $y_{\infty} =1-x_{\infty} - z_{\infty}$ 。
: (iv) （如果受傳染者始終不絕跡，那治癒者不可能趨於平衡）
由於 $z'(t) =\beta y(t) \rightarrow \beta y_{\infty}$ ，所以如果 $y_{\infty}\neq 0$ ，則 z'(t) 趨近於一正的常數，從幾何直覺知道 z(t) 不可能趨近於一定數 $z_{\infty}$ ，這與 (ii) 矛盾，所以 $y_{\infty}$ 非得等於 0 不可。

由(i)-(iv)，我們知道 y(t) 無論如何會趨近於 0。

習題：: 利用平均值定理更詳細地說明上面(ii)中的幾何直覺。即

「若 z'(t) 趨近於一正常數，則 z(t) 不可能趨近於一定數 $z_{\infty}$ 。」

(2)的解釋：

(i) 如果 $x_0\leq \frac{1}{\eta}$ ，由於 x(t) 會遞減， $x(t)\leq x(0)=x_0 \leq \frac{1}{\eta}$ 。又

$\begin{displaymath} y' = \alpha y \; (x-\frac{\beta}{\alpha}) = \alpha y(x-\frac{1}{\eta}) \leq 0 \end{displaymath}$

亦即 y 從一開始就會遞減。

(ii) 若 $x_0>\frac{1}{\eta}$ ，

$\begin{displaymath} y'(0)=\alpha y(0)(x(0)-\frac{1}{\eta})>0 \end{displaymath}$

所以 y(t) 在開始時就會遞增。但 $x_{\infty}$ 不可能 $\geq \frac{1}{\eta}$ （即 x(t) 不可能恆 $\geq \frac{1}{\eta}$ ），因為這樣一來 y'(t) 恆 $\geq 0$ ，則y(t) 遞增， $y_{\infty}\neq 0$ ，與(1)矛盾。換句話說，如果有效接觸數 $\eta x(t)$ 恆 $\geq 1$ ，則傳染擴散永遠也停不下來。所以 x(t) 終究要小於 $\frac{1}{\eta}$ ，但這麼一來，y'(t) 在 x(t) 遞減到 $\frac{1}{\eta}$ 前，y'(t) > 0；當 x(t) 越過 $\frac{1}{\eta}$ 往 $x_{\infty}$ 遞減時， y'(t)<0，因此 y(t) 先遞增後遞減，且在 $x(t)=\frac{1}{\eta}$ 時，y(t) 達到最大值。

下面習題是用另一個方法（相平面曲線法）來解釋(2)。

習題：

假設 $\eta >1$ ，利用方程組的前兩式，說明

: (1) $\frac{dy}{dx}=-1+\frac{1}{\eta x}$ ，並解出 $y = -x + \frac{1}{\eta}\ln x+C$ 。
: (2) 說明解曲線在 $x=\frac{1}{\eta}$ 有極大值且圖形凹向下。
: (3) 在 xy-平面，x>0, y>0, x+y<1 的區域中，以 C 為參數，畫出一些解曲線，並標明曲線隨著時間變化的方向。

註：光從這個習題看不出為什麼 $y_{\infty}$ 必須等於 0。

習題：: 由上習題說明 $1-\frac{1}{\eta}<z_{\infty}<1$ 。
習題：: 如果 $\eta <1$ ，分析整個傳染病模型（定性分析或上習題的方法都試試看）。

預防注射

在前面例子中提到初始值 x₀ = 0.1 時，我們覺得很荒謬。但是如果從另一個角度想，也許並不完全如此。如果我們真能將 x₀ 控制在 $<\frac{1}{\eta}$ 的範圍內，則不管 y₀ 是多少，方程式 $y'=\alpha y(x-\frac{1}{\eta})\leq 0$ 恆成立。因此傳染病便被有效控制了。

這正是預防接種的重要性，由於疫苗的注射，一個無抵抗力的健康人可以轉移成具免疫力的治癒者，在大規模的疫苗接種後，x₀ 可以真正變小，因此有效控制傳染疫情的策略，就是利用預防接種將 x₀ 減低到接觸數的倒數以下（即有效接觸數 <1）。

例.（續前例）

假設真能發展此流行性感冒的疫苗，若預防接種的比例高達

$\begin{displaymath} 1-\frac{1}{5}=80 \% \end{displaymath}$

則疫情便可控制住。

這個傳染病模型最有趣的結果，是為了不讓傳染病疫情擴散，預防接種並沒有必要做到全民接種的地步。這中間最關鍵的問題，是要知道該傳染病在此地醫療水準下的接觸數 η。例如小兒痲痺的接觸數通常較百日咳來得小，理論上就不比百日咳的接種壓力來得大（參考習題）。當然在國家財政允許下，嚴重傳染病的預防接種還是應以全民為目標，但當疫苗成本昂貴時，而且又是接觸數低的傳染病時，上述的考慮就會成立。當然，如同第一節的討論，接觸數並不是疾病的特定性質，與當地醫療環境也習習相關。提高衛生水準，增進有效之醫療法，都有助於縮減預防接種的規模。

我們已經了解傳染病接觸數的重要性，下面的習題討論如何實際掌握接觸數。

習題：

說明接觸數

$\begin{displaymath} \eta =\frac{\ln x_{\infty}-\ln x_0}{x_{\infty}-x_0} \end{displaymath}$

註：因此當 $x_0 \approx 1$ 時， $\eta = \frac{\ln x_{\infty}}{x_{\infty}-1}$ 。

習題：

台北市流行性感冒疫期過後，據各醫院通報，治癒人數約為 100萬人，若台北市人口為 250 萬人，請估計接觸數 η。
(Ans. 1.28)

註：依據醫院通報，只能得到接觸數的下限，因為還有許多人服用成藥或沒有就醫。

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

最後修改日期：9/30/2001