生態學之 Lokta-Volterra 模型
翁秉仁 |
.作者任教於台大數學系 .本文節錄改寫自作者《微積分講義》 |
Volterra 在1926年提出了以下關於「獵食者」與「獵物」(Predator-Prey) 雙物種的生態學模型,企圖解釋亞德里亞海某些魚類數量的起伏現象。
假設在某一封閉的生態環境內,獵食者 P 以獵物 Q 為食物,而獵物 Q 則以此系統近乎無窮無盡的某種生物為食物(例如狼吃野兔,野兔吃草)。令 P(t) 為物種 P 在時間 t 的數量,Q(t) 為 Q 之數量,則 Lotka-Volterra 模型為
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例. 設某水草豐美的島上, 只有狼 (P) 與兔 (Q) 兩種動物, 狼依賴捕食兔子維生, 而兔子則靠吃草維生。
假設狼兔「人口」滿足 Lotka-Volterra 模型:
![]() 由歐拉法可作圖如下, 其中綠線為兔, 紅線為狼, 我們試看 看不同的初始值:
注意到平衡解為狼 P=20, 兔 Q=100 (即圖中的水平線)。讀者可以利用這些圖形, 檢驗前述之定性分析, 另外我們又多注意到一些現象。
現在我們用相平面曲線法來了解一下這個問題, 希望能解釋上面的現象。
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由相平面曲線法
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再用分離變數法得,
![]() 其解曲線圖形如右 (前面四個圖例之起始點以 * 標於圖中)。我們發現:
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![]() ![]() ![]() 由上習題知 Q(t1)=Q(t2), 故得。
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最後修改日期:9/30/2001 |