行星運動三大定律

曹亮吉

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．作者任教於台大數學系

十七世紀初，Kepler 提出行星運動三大定律，使西方天文學起了巨大的改變。十七世紀下半，Newton 提出了他自己的運動定律及萬有引力定律，並且證明在適當的條件下，Kepler 行星運動定律與萬有引力定律是可以互導的。

1601年 Kepler 接替著名的天文學家 Tycho Brahe（1546～1601年），成為神聖羅馬帝國的宮廷數學家。Kepler 不但接替了 Brahe 的職位，而且繼承了他的遺產──幾十年的星象紀錄（望遠鏡發明前最精確的紀錄）。

Kepler 仔細核算這些紀錄，設想行星運動種種可能的軌道，經過多年的努力，終於在1609年發表他的頭兩條運動定律，然後再經過十年的努力，於1619年發表第三運動定律。這三條定律是這樣的：

: 一、（軌道論）行星運行的軌道為橢圓，太陽居其一焦點。
: 二、（面積論）行星與太陽的連線在等長的時間內掃過相同的面積。
: 三、（周期論）行星繞行太陽一周所需要的時間 T，和行星軌道半軸長 a 之間有如下的關係：T² : a³ 為定值（所有的行星都相同）。

這三條定律將太陽系用數學結成一體，使 Copernicus 的太陽中心說得以確立，使天文學在定性定量兩方面都進入了新紀元。

半個世紀後，Newton 提出了他自己的運動定律，其中第二條說：力向量 $\overrightarrow{F}$ 、加速度向量 $\overrightarrow{A}$ 與質量 m 之間的關係為 $\overrightarrow{F}=m \overrightarrow{A}$ 。 Newton 的萬有引力定律則說：質量 M 對質量 m 的引力 $\overrightarrow{F}$ 為 $\overrightarrow{F}=-\frac{GmM}{\vert\overrightarrow{P}\vert^3}\overrightarrow{P}$ ，G 為萬有引力常數。此處的 M 所在位置為原點， $\overrightarrow{P}$ 表 m 所在位置之位置向量。

如果 M 表太陽，m 表一行星，則由 Newton 第二運動定律及萬有引力定律可得 $\overrightarrow{A}=-\frac{GM \overrightarrow{P}}{\vert\overrightarrow{P}\vert^3}$ ，它把行星運動的位置向量與加速度向量以簡單的公式相聯。

用極坐標，將太陽置於原點， $(r,\theta)$ 表行星的位置。設 $\overrightarrow{U_r}=(\cos\theta,\sin\theta)$ 為位置向量的單位向量， $\overrightarrow{U_{\theta}}=(-\sin\theta,\cos\theta)$ 為與 $\overrightarrow{U_r}$ 垂直的單位向量，t 表時間，則經由連鎖法則的計算可得

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{A}&=&A_r\overrightarrow{U_r}+A_{\theta}\overri... ...eta}&=&\frac{2}{r}\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}) \end{eqnarray*}$

Kepler 定律與萬有引力定律之間的互導，其主要架構如下：

一、面積律與向心律相當： $A_{\theta}=0$ 為向心律， $\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}) =0$ 為面積律。

二、假定了面積律（及向心律），則軌道律與平方反比律相當：假定面積律，則 $r^2\frac{d\theta}{dt}=h$ 為一常數，由此可導得（設 $\rho=\frac{1}{r}$ ）

$\begin{displaymath}A_r=\frac{h^2}{r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{2h^2}{r^5}(\f... ... \frac{h^2}{r^3}=-h^2{\rho}^2(\frac{d^2\rho}{d{\theta}^2}+\rho)\end{displaymath}$

從此式可導得軌道律與平方反比律是相當的。

三、假定了面積律、軌道律（及向心律、平方反比律），則周期律與萬有引力定律（即向心平方反比律中的比例常數與行星無關）相當。

以上的互導做了如下的假定：行星只受制太陽的引力。事實上，根據萬有引力，行星也受到其他行星的引力，只是此引力比太陽的小得太多，其結果使得行星的實際軌道稍有偏離理想的橢圓形軌道；此種現象稱為擾動。

英國天文學家 J. Adams（1819～1892）及法國天文學家 U. de Verrier（1811～1877）於1840年代，為了解釋天王星的擾動現象與預期的（受到已知行星的擾動）有些出入，而預測另有一未知的行星。他們都計算了該未知行星的軌道，而根據 de Verrier 的計算，德國天文學家 J. Galle 於1846年用望遠鏡找到了海王星。

故事再重演一遍，根據海王星的擾動，天文學家在1930年找到了冥王星。

Newton 在考慮引力問題時，遇到一難題如下，假定球體各點的密度只與到球心的距離有關，則球體對質點的引力是否等於和質點全集中在球心後對質點的引力？這是有相當難度的三重積分問題，Newton 經過長久的嘗試，最後才以變換變數的方法來解決。

（節錄自曹亮吉主編之《微積分》，16-2及15-4。）

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編輯：黃信元

最後修改日期：9/30/2001