人口成長模型

翁秉仁

首頁 | 搜尋

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

馬爾薩斯的人口模型

英國經濟學家馬爾薩斯 (Malthus)，在1798年他匿名發表的《人口原理》中，提出下述人口成長模型：

「人口的成長率與總人口數成正比。」

令 P(t) 表時間 t 的人口數，且 P₀ 為 t=t₀ 時的人口數，則以上敘述可以數量化為:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} P'(t) =\lambda P(t), \quad \lambda >0 \\ P(t_0) = P_0 >0 \end{array} \right. \end{displaymath}$

由定積分得(由題意知 P(t)>0):

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \frac{P'(t)}{P(t)}\; dt &=& \int_{t_0}^t ( \ln P(t))' \; dt \\ &=& \ln \frac{P(t)}{P(t_0)}= \ln \frac{P(t)}{P_0} \end{eqnarray*}$

又由原方程式得到

$\begin{displaymath}\int_{t_0}^t \frac{P'(t)}{P(t)}\; dt =\int_{t_0}^{t} \lambda \; dt= \lambda (t-t_0) \end{displaymath}$

合併兩式得到

$\begin{displaymath}P(t) = P_0 \; e^{\lambda(t-t_0)} \end{displaymath}$

因此人口成長呈現所謂的指數成長。馬氏估計食物的供給只是線性成長，由於指數成長快於線性成長，總有一天食物的供給將無法滿足人口的需求。雖然馬氏的警告是針對當時富強的大英帝國，而且日後，由於食物供給技術的更新，人口政策的推行，使得爆發點延遲至今並未到來，但是人口呈指數成長的壓力，在當今世界仍然是嚴重的問題：第三世界國家的飢荒問題。近年美國關於大陸人口數十年後必將拖垮世界糧食供給說法，就是明顯的例子。而大陸一胎化政策，則是對本身人口問題的具體回應。

習題

台灣人口在1966年為1300萬人，1971年為1500萬人。

: (1) 依據馬氏人口模型，求出 λ？
: (2) 今年（2000年）應有多少人口？
: (3) 現在台灣人口約2200萬人，與你的答案間的差別該怎麼解釋？

(Ans.(1) $\lambda \approx 0.029$ (1/年), (2) 3485萬人.)

對外搜尋關鍵字：
．微分方程

修正的人口模型: Logistic 模型

比利時數學家 Verhulst 在 1840 年修正了馬爾薩斯前節的人口模型，他認為

「人口之成長不能超過由其地域環境所決定之某最大容量 M。」

他提出下面的模型──通稱為 Logistic 模型。

$\begin{displaymath}P'(t) = \lambda P(t)(M-P(t)), \quad\lambda, M >0 \end{displaymath}$

這方程的意思是, 在人口相對少時, 基本上馬氏的模型是對的, 但當人口相當多時, 人口成長率便會趨緩, 而且越靠近人口上限 M 時, 成長率越小. 觀察此方程式, 一方面,

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{P'(t)} {P(t)(M-P(t))}}dt &\stackrel{u= P(t)}{=}&\i... ...u}{M -u}\Big\vert +C \\ &=&\frac{1}{M}\ln \frac{P(t)}{M-P(t)}+C \end{eqnarray*}$

注意到由題意知, 0<P(t)< M. 另一方面,

$\begin{displaymath}\int\frac{P'(t)}{P(t)(M-P(t))}\; dt =\int \lambda \; dt =\lambda t + C_1 \end{displaymath}$

由上兩式得

$\begin{displaymath}\frac{P(t)}{M-P(t)} \;=\; C_2\cdot e^{M\lambda t}\end{displaymath}$

再化簡得

$\begin{displaymath}P(t)\;=\; \frac{M}{1+C_3 e^{-\lambda M t}} \end{displaymath}$

若假設初始條件 P(t₀)=P₀, 0 < P₀ < M，則

$\begin{displaymath}P(t)=\frac{M}{1+(\frac{M}{P_0}-1)e^{-\lambda M (t-t_0)}} \end{displaymath}$

我們注意到此圖形有一明顯的反曲點, 其時人口變化率達到最大(why?)，爾後開始趨緩。想求反曲點的位置，有一個簡單的方法如下，由於

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccl} P'(t) &=& \lambda P(t)(M-P(t)) \\ P''(t) ... ...(t) P'(t) \\ &=& \lambda^2 P(t) (M-P(t)) (M-2P(t)) \end{array}\end{displaymath}$

因為 P''(t)=0 與 0 < P(t)< M，則反曲點應發生在 $P(t)=\frac{M}{2}$ 時，因此當人口到達天然界限 M 的一半時，人口增加速率最大。

注意. P(t)=0, P(t)=M 都是原方程的解。

例.

由於美國從 1790 年起有較完整的人口普查資料, Verhulst 採用從 1790─1840年的六個資料, 用 Logistic 模型作出 1940 年美國人口數的世紀預測。其誤差在1%內！

年	萬人
1790	392.9
1800	530.8
1810	724.0
1820	963.8
1830	1286.6
1840	1706.9

圖中縱軸單位為百萬人，紅方格為實際資料，藍虛線為下面習題預測之曲線。

習題

(1) 由於前面三個資料變化較小，用它們來作預測容易產生較大誤差。請利用 t₀-10=1820, t₀=1830, t₀+10=1840 年的資料決定 M，再進而決定 λ。

(Ans. $M\approx 18351$ 萬人, $\lambda \approx 1.67 \times 10^{-6}$ (1/年×萬人))。

(2) 由上面得到

$\begin{displaymath}P(t) = \frac{18351}{1+13.3 e^{-0.03(t-1830)}} \end{displaymath}$

對照此公式與右上圖邊之實際資料。

(3) 但是 1 億 8351 萬人的上限，在今日早已打破了，可能的解釋是什麼？

Logistic 模型只是以有上限為前提, 來導引出方程式. 它完全沒有碰觸到人口如何可能趨近於某定值的問題, 想想看瀕臨人口上限時, 人類社會要付出什麼代價?

習題: 台灣人口在 1970 年為 1819 萬人, 1977 年為 1995 萬人, 1984 年為 2136 萬人。請利用這三筆資料, 構作一 Logistic 模型。
: (1) 試估計 1997 年的人口數, 並與 1997 年 6 月底之真實人口數 2160 萬人做比較。
: (2) 已知台灣面積約 36182 平方公里, 說明依此人口模型, 台灣人口密度不可能超過 700 人/平方公里 (現約 600 人/平方公里)。

(Ans.(1) 2315 萬人.)

習題

（另一種人口模型-Coalition model） 1960 年 Foerster 提出一新的人口模型如下：

$\begin{displaymath}P'= \lambda P^{1+\epsilon}, \quad \epsilon \mbox{ {\MbQ\cha... ...{\MbQ\char 163}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\char 98}}\end{displaymath}$

試解出此微分方程？（此模型的意思是 $\frac{P'}{P} = \lambda P^{\epsilon}$ ，隨著人口增加，科技發達會有更多人口出生。）

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

最後修改日期：9/30/2001