等角螺線及其他 (第 7 頁) 趙文敏
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.原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出 .作者當時任教於師大數學系 •對外搜尋關鍵字 |
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設 C 為一曲線而 O 為一定點,自 O 向 C 的所有切線作垂直線,則所有垂足所成的圖形稱為曲線 C 對定點 O 的垂足曲線。
若 C 是等角螺線
,則 C 對其極點的垂足曲線是一個全等的等角螺線,為什麼呢?在圖七中,若 是在切線 PT 上的垂足,則
,而
是 P 的輻角(設
)。因此,可得
換言之,所有 H 點構成等角螺線 。
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設 C 為一曲線,作 C 的所有法線,若所有法線都是某曲線的切線,則此曲線稱為曲線 C 的漸屈線。
若 C 是等角螺線
,則 C 的漸屈線是一個全等的等角螺線,我們說明如下。設 P 是等角螺線 C 上一點, 在過 P 的法線上而且
(見圖七)。顯然,
,而且
是點 P 的輻角(設
)。因此,可得
換言之,所有 N 點構成等角螺線 。因為此等角螺線過 N 點的切線與直線 ON 的夾角等於 α,而法線 PN 正具有這項性質。也就是說,法線 PN 就是此等角螺線在 N 點的切線。因此,此等角螺線就是 的漸屈線。 曲線 C 的漸屈線也可定義為「曲線 C 的每個點的曲率中心所成的圖形」。在圖七中,該等角螺線在 P 點的曲率中心就是 N、曲率半徑就是 ( )。
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編輯:黃信元 | 最後修改日期:2/17/2002 |