等角螺線及其他 (第 2 頁)

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等角螺線及其他（第 2 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
．作者當時任教於師大數學系
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等角螺線的方程式

在坐標平面上，若極坐標方程式 $r=f(\theta)$ 表示一等角螺線（ $f(\theta) > 0$ ），其極點是原點 O，定角為 α ( $0<\alpha<\pi, \alpha \neq \frac{\pi}{2}$ )，則因在點 $(f(\theta),\theta)$ 的切向量為

$\begin{displaymath} (f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta, f'(\theta) \sin \theta + f(\theta)\cos \theta) \end{displaymath}$

所以，可得

$\begin{eqnarray*} &&\cos\alpha\\ &=&\frac{\cos\theta(f'(\theta)\cos\theta-f(\th... ...ta+f(\theta)\cos\theta)}{\sqrt{(f'(\theta))^2+(f(\theta))^2}}\\ \end{eqnarray*}$

即

$\begin{displaymath} \frac{f'(\theta)}{\sqrt{(f'(\theta))^2+(f(\theta))^2}} \end{displaymath}$

由此可得下述結果：

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}&=&\cot\alpha\\ \ln f(\theta)&=&\... ...{m}\selectfont \char 125}})\\ f(\theta)&=&ae^{\theta\cot\alpha} \end{eqnarray*}$

換言之，此等角螺線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=ae^{\theta\cot\theta} \end{displaymath}$

在前面所提的四狗追逐問題中，若中心 O 是極點而點 A 的極坐標為 $A(a, \frac{\pi}{4})$ ，則甲、乙、丙、丁四隻狗所跑的路徑分別在下述四等角螺線上： $r=ae^{(\theta-\frac{\pi}{4})}$ , $r=ae^{(\theta+\frac{\pi}{4})}$ , $r=ae^{(\theta+\frac{3\pi}{4})}$ , $r=ae^{(\theta+\frac{5\pi}{4})}$

前面所提的 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ ，就是等角螺線的極坐標方程式。由於在導出此方程式的過程中曾經引用了自然對數，所以，等角螺線也稱為對數螺線 (logarithmic spiral)。

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編輯：黃信元

最後修改日期：2/17/2002