等角螺線及其他 (第 4 頁)

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等角螺線及其他（第 4 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
．作者當時任教於師大數學系
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等角螺線上的相似性質

根據等角螺線的方程式 $r=ae^{\theta\cot{\alpha}}$ ，可以看出：對每個 θ 值，都有一個對應的 r 值；而且不同的 θ 值所對應的 r 值也不同（因為 $\cot{\alpha}\neq0$ ）。這種現象表示：從等角螺線上某個點出發，隨著 θ 值的無限制增大與無限制減小，此曲線會環繞它的極點形成無數多圈，一面是愈繞愈遠，一面是愈繞愈聚集在極點附近。若 $\cot{\alpha}>0$ ，則當 $\theta\rightarrow-\infty$ 時，曲線聚集在極點附近。若 $\cot{\alpha}<0$ ，則當 $\theta\rightarrow-\infty$ 時，曲線愈繞越遠。圖二是等角螺線的一部分 $(\cot{\alpha}<0)$ 。

圖二

圖三

若輻角 $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ ,… 構成一個等差數列，則由指數的性質，對應的向徑 $a e^{\theta_1\cot{\alpha}}$ ， $a e^{\theta_2 \cot{\alpha}}$ ， $a e^{\theta_3 \cot{\alpha}}$ ，… 就構成等比數列。若令 P_n 表示極坐標 $(a e^{\theta_n \cot \alpha},\theta_n)$ 的點，則上述結果表示 $\overline{OP_1}$ , $\overline{OP_2}$ , $\overline{OP_3}$ ,… 構成一個等比數列。又因 $\angle{P_1 O P_2} = \angle{P_2 O P_3} = \cdots$ ，所以可知 $\triangle P_1 O P_2$ 與 $\triangle P_2 O P_3$ 相似。由此可知：

$\begin{displaymath} \overline{P_1P_2} \quad , \quad \overline{P_2P_3} \quad , \quad \overline{P_3P_4} \cdots \end{displaymath}$

構成一個等比數列。

若上述等差數列 $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ ,… 的公差是 $2\pi$ ，P₁, P₂, P₃,… 等乃是過極點的一射線與等角螺線的交點。可見：過極點作任意射線，則此射線與等角螺線的交點必以等比數列的形式排列在射線上。

對於一般的幾何圖形，若我們選定某個點做為伸縮中心將圖形放大或縮小，則可得到一個相似的圖形，在等角螺線的情形中，若伸縮中心是它的極點，則不論放大或縮小多少倍，所得的不只是相似圖形而已，它是與原等角螺線全等的一個等角螺線。為什麼呢？若以極點為伸縮中心將等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 伸縮 m 倍，則所得的圖形是等角螺線 $r=am e^{\theta\cot\alpha}$ 。因為 $m \neq 0$ ，所以可找到一個實數 $\phi$ 使得 $m=e^{\phi\cot\alpha}$ 。於是伸縮後的圖形為 $r=a e^{(\theta+\phi)\cot\alpha}$ ，這個圖形其實就是等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 繞極點順時針旋轉 $\phi$ 角所得，它自然與原等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 全等。

根據前段的說明，我們可以了解：等角螺線上的一段弧經伸縮若干倍後，必與該等角螺線上的另一弧全等。事實上，若等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 經伸縮成 $r=a e^{(\theta+\phi)\cot\alpha}$ ，則在等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ ，輻角 θ 滿足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 的弧，經伸縮後必與該等角螺線上輻角 θ 滿足 $\beta+\phi \leq \theta \leq \gamma+\phi$ 的弧全等。等角螺線的這項特性，使得自然界中許多物體都呈現等角螺線的形狀。例如：許多貝殼都很接近等角螺線的形狀，因為生活在殼內的動物在成長過程中都是均勻地長大，這就像相似地放大，所以，新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似。象鼻、動物的角與毛等都呈等角螺線形。在植物中，向日葵、鳳梨與雛菊上的螺旋紋也都呈等角螺線形。圖四是鸚鵡螺的橫截面，這麼美的線條，令人不得不佩服造物之奇。

圖四

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編輯：黃信元

最後修改日期：2/17/2002