李國偉

引言 劉徽造重差 由單表到雙表 與戴奧番塔斯的對比 演算法則 結語

引言

由直觀上顯而易見的定義及不證自明的公設出發，歐幾里德的《幾何原本》以嚴謹的論理方式，組織起當幾何學的知識。在世界數學史上，這是一個影響最深遠的典範。 公設方法到羅素與懷海德的《Principia Mathematica》（1910∼1913年）已達極至，他們嘗試從最簡單的邏輯原則推導出數學知識的全體。雖然葛德（K. Gödel）、科恩（P.J. Cohen）等人的結果，已經徹底暴露了公設方法的內在局限。且在實用上，絕大部分當代的數學並不在嚴密的形式系統中進行。但是公設方法成為隱藏在數學知識背後的骨架，卻已經是多數數學家所接受的觀點。

以公設方法的尺度來衡量中國古典的數學作品，所得的評價自然大打折扣。 三上義夫在《中國算學之特色》中認為中國古代數學思想最大的弱點，便在於缺乏嚴格的證明， 這是與中國未能發展形式邏輯系統，以及過分偏重聯想性與有機性思想方式有關。 李約瑟在徵引三上義夫的觀點時，也沒有提出異議 ^註1 。 而籔內清更說：「一言以蔽之，中國的數學源自於計算技術，而始終還是計算技術。」 ^註2 雖然中國古典數學有領先世界的個別成就，但作為一套知識的體系來看，只能讓人歸屬為經驗型，幾乎已成公論。

考核古典數學成就，其實應做兩種層次的工作。第一種最為人常用的方式，便是由現存的典籍入手， 了解到底有那些數學的事實為當時人所認識。這當然是任何深入研究的基礎， 是決不可缺少的硬工夫。但是受社會與文化等外在因素的影響，中國數學的古典作品， 幾乎全以實用教科書的形式來表達。不過由這樣的外觀，很快便認定中國古算只停留在經驗的層面， 可能會造成一種嚴重的疏忽。就是數學知識無論以什麼形式表達，它有自己內在而且客觀的理路， 成熟的數學家也許為了遷就社會的現實環境，不得不編寫或註解普及的教本， 然而通過他們撰述的方式，再把握住數學內在的理路，我們還是可以逐漸辨識出他們心智成就的真貌。 當然這種推斷，絕對不能成為無懈可擊的論證，但基於下面兩點理由，這種方向的推斷似乎也是不必避免的。 一、如果知識只是經驗的，它所涉及的應該只是具體個別的數據。 《周髀算經》開頭所謂「勾廣三，股修四，徑隅五」，可說是一個經驗的事實。 但後面所謂「勾股各自乘，並而開方除之」，已經隱藏了一個推理的過程。 二、如果演算的過程十分複雖，而且表達的形式相當一般化，無需倚賴題目中特別的數值數據， 那麼數學家如何向人保證或使自己相信這樣的方法是正確的呢？若缺乏適當的論理過程， 這幾乎是不可能的。遺憾的是，這些論證的過程，即使有人撰述成章，也早已失散。 總之，我們可以說中國社會與文化的環境，不利於論理體系思想的發展。但是要說中國古代只有經驗型的數學，實在有待更深入的認識與理解才能論斷。

本文準備以劉徽《海島算經》的第一題為例，來支持上面的第二項觀點。當然這只是深入探索的第一步，要使這個看法更具說服力，必須從事更大規模更有系統的研究。然而若能讓讀者正視所提出的觀點，本文的任務便可算圓滿達成了。