初探「重差」的內在理路 （註釋）

李國偉

 
註釋

...註1
J. Needham,《Science and Civilisation in China》, Vol. III, Cambridge University Press, p.151, 1959.（商務中譯本，第四冊，頁282。）
...註2
藪內清《中國算學史》頁2。（簡茂祥、林桂英譯，台北聯鳴文化公司出版。）
...註3
錢寶琮《中國算學史》上卷，頁40，中央研究院歷史語言研究所，單刊甲種之六(1932)。
...註4
張蒼於漢高祖六年（西元前202年）封為北平侯，曾著書八十篇言陰陽律曆事，應為古代一等大算家。
...註5
唐王孝通《上輯古算經表》：「徽思極毫芒，觸類增長，乃造重差，列於終篇，雖即未為司南，然亦一時獨步。」
...註6
《周髀算經》的宇宙模式是所謂的「蓋天」式， 近人多認為是兩個相離球面的一部分，天蓋在地上，而天的曲度應該較大。 第一條假設其實已與蓋天說矛盾，但據高平子《學曆散論》裏〈中國人的宇宙圖象〉 （中央研究院數學研究所，頁21，1969），認為古人立術不能不用平面，因捨此別無他法。
...註7
李儼、杜石然在《中國古代數學簡史》（頁92），認為是因為利用了標竿對被測物距離差，以及標竿影差，兩個差值測量，因此叫「重差」，似乎有欠妥善。 〈九章注自序〉中說：「徽尋九數有重差之名，原其指趣，乃所以施於此也。」可見劉徽時已不能確定「重差」的原始面貌，現在所謂的「重差」基本上是劉徽的創作。
...註8
《周髀算經》其實已隱涵了利用兩表省去「勾之損益，寸千里」假設的種子。 陳子說之曰：「……日中立竿測影……周髀長八尺……正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。」由此可算出千里差一寸的比例，但這似乎並非實地的測量值。 而何丙郁與何冠彪在《中國科技史概論》（頁68），認為相去兩千里立兩表以測日影， 似不合實情。其實像劉徽這種一等的數學頭腦，很可能由陳子的話看出只需在洛陽之城立兩表，兩景均可就近實地度量，因而悟出「重差」也未可知。
...註9
《算術》原應有十三卷，希臘文本僅存下六卷。 近年才由阿拉伯文本翻回四卷，而研判為第四至第七卷，此處是按新順序。 請參見 J. Sesiano,《Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica》, Springer Verlag, p.88, 1982.
...註10
李儼在《中國古代數學簡史》（頁91）， 還要用平行輔助線證明海島算經第一題的正確性，以及錢寶琮（《中國算學史》上卷 頁46）說：「按此題以近世三角術馭之，須用兩仰視角之餘切差為法。兩次測望，即所以求兩仰視角之餘切也。」 都是以近代的數學驗證了劉徽的答案，卻完全忽視它內在的理路，而未能體認劉徽可用更簡單更直接的比例計算達到目的。 純粹以相似直角三角形驗證者，請參看黃哲夫〈海島算經新註今釋〉 （刊於中央研究院數學研究所《數學傳播季刊》第三卷第二期，頁53∼65，1978）。
...註11
此節「演算法則」資料取自 D.E. Knuth,《The Art of Computer Programming》, Vol. I, Addison-Wesley, pp.1-6, 1968.
...註12
至少劉徽不應以 calculator 視之， 像李約瑟（前引書，頁33）所言：當然，中國古代計算家，並沒有想到，有需如此代數的一般化必要。他們所處理的問題，僅僅是某些實用的而已（參見商務書局中譯本第四冊，頁59）。原文是： But of course no such algebraic generalisations were ever thought necessary by the old Chinese calculators, who dealt only with specific practical problems.

案：李約瑟使用的是 calculator，而不是 mathematician（數學家），這兩個稱謂意涵大不相同。一個自認為是 mathematician 的人，被人叫做 calculator 是會感到莫大的恥辱的；反之我們絕不會稱一個有資格做 mathematician 的人為 calculator。

...註13
「內在理路」(inner logic) 是余英時《歷史與思想》書中〈清代思想史的一個新解釋〉所強調的概念，余先生的研究予人甚多啟示。
   


最後修改時間: 2/17/2002