初探「重差」的內在理路 (第 3 頁)

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初探「重差」的內在理路（第 3 頁）

李國偉

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．原載於科學月刊第十六卷第二期
．作者當時任職於中央研究院數學所

‧註釋
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由單表到雙表

在認識劉徽「重差」之前，我們先觀察一個古老而受中國算家重視的問題，就是太陽的高遠問題。《周髀算經》中說：「從髀至日下六萬里，而髀無影。從此以上至日則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里。」也就是如圖一所示的情形。

圖一

這個推算的正確性須倚賴兩項假設：一、地平可沿視平而任意延長 ^註6 。二、「勾之損益，寸千里」即表尺南北移動一千里，日影長度增減一寸。就古代的知識水平而言，第一項假設幾乎是不能不接受的。但是第二條假設，卻是一項經驗性敘述，應該是可以實地檢驗的，因此它出錯的機會也較大。日遠的計算如果必須倚靠第二條假設，頗難令人滿意。但是請看圖二

圖二

利用相似直角三角形的性質，可知 $\triangle ABE$ 相似於 $\triangle STE$ ， $\triangle CDF$ 相似於 $\triangle STF$ ，從而有 $\frac{AB}{BE} = \frac{ST}{TB+BE}$ ， $\frac{CD}{DF} = \frac{ST}{TB+BD+DF}$ 。如果令 AB=CD，則有 $\frac{BE}{DF} = \frac{TB+BE}{TB+BD+DF}$ ，即 $TB = \frac{BE \cdot BD}{DF-BE}$ ，將此值代入 $ST = \frac{AB}{BE} (TB+BE)$ ，可得 $ST = \frac{AB \cdot BD}{DF-BE} + AB$ 。因此我們只要利用等高的兩個表尺 AB 與 CD，便可用日影的差 DF-BE 求出 TB 與 ST。因而經驗性的第二條假設得以省去，使得計算日遠日高的理論基礎更形穩固。因此劉徽說「必以重差為率」，應該是指重表景差為度量準則的意思 ^註7 。而劉徽緊接著解釋說：「故曰重差也，立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地，同日度其正中之影，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景，乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。」請參閱圖二，如果 S 為太陽，所謂景差即 DF-BE，為法者為除數也，表高乘表間即 $AB \cdot BD$ ，為實者為被除數也，因此劉徽的算法是完全正確的。而且雖然他援用了《周髀算經》中「周髀長八尺」之說，但是他的興趣其實並不在真正日遠多少，他沒有舉出實測的值，他只是引用一個古典的題型，來展現自己的方法。也因此他的九條題目裏，雖然有「孤離者三望，離而又旁求者四望」，並不只限於兩對相似直角三角形的關係，但是此理路之「端」仍在重表景差為率之上，因此總稱為「重差」 ^註8 。

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002