自然界的照妖鏡 (第 8 頁)

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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介（第 8 頁）

林孝信

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．原載於科學月刊第一卷第二期
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傅氏分析

從計算a_n及b_n出發，數學家發現許多問題，這些問題刺激了十九世紀數學許多部門的發展(請參看曹亮吉文)。這裏我們簡介最密切相關的兩個部門:泛函分析與向量空間。

我們知道，積分是求面積，求函數曲線到X軸間所圍成的面積。如果函數值愈大，積分的值便跟愈大。換句話說，積分值隨函數的大小而變化，亦即它是函數的「函數」(通常的函數，自變數是數，但在這裏，自變數不是一個一個數，而是函數本身，所以說是函數的「函數」)這門學問，叫做泛函分析 (Functional Analysis)，在傅氏級數裏，a_n及b_n都隨f(x)而變，都是函數的函數，我們便可體會到，它和泛函分析一定有密切關係。

再進一步討論，我們發現這種積分的「函數」，是線性的運算。亦即它滿足下列兩個條件:

$\begin{eqnarray*} \int kF(x)dx &=& k(\int F(x)dx) \\ \int (F(x)+G(x))dx &=& \int F(x)dx + \int G(x)dx \end{eqnarray*}$

所以，在傅氏係數中，如果f(x)的係數是a_n及b_n，那麼將f(x)乘上常數k倍，則kf(x)係數為:

$\begin{displaymath}\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} kf(x)\sin nxdx=k(\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nxdx)=ka_n\end{displaymath}$

亦即是ka_n及kb_n。這種正比性質，我們到處可見。例如太陽斜照電線桿，電線桿愈長，影子也必愈長;如圖五所示:這種投影(Projection)，便是正比關係，在數學上非常重要。一部解析幾何學是建基在座標上，而座標便需基於投影的方法，才能求得一點(或一個位置向量)在各座標軸上的分向量;如圖六所示:

$\begin{displaymath}\overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}\end{displaymath}$

x有如太陽在正上空垂直照射向量 $\overrightarrow{OP}$ ，所形成於地面(X軸)上的影子。

圖五

圖六

注意到了嗎?把一個函數展成傅氏級數，和把一點寫成座標(或分向量)完全類似，只不過傅氏級數的「分向量」(或「座標」)有無窮多個(即a₀,a₁,a₂, $\cdots\cdots$ ,b₁,b₂, $\cdots\cdots$ )而在平面卡氏座標上，分向量只有兩個(即x及y)。至於 $\sin nx$ 及 $\cos nx$ ，便相當於座標的單位向量 $\widehat{i}$ 及 $\widehat{j}$ 。

所以展成傅氏級數，等於求一個向量在各座標軸的分向量。這樣，我們可以了解開頭所說的:傅氏分析與向量空間有密切關係。

還有，前面我們說過，傅氏照妖鏡，可以把疊加在一起的函數分開。怎麼分開呢?讀者現在可以猜到，所謂分開，便是展成傅氏級數，求傅氏係數。(此相當於將一向量分解，求其分向量。高三的讀者當已知道，向量的加法正滿足疊加原理。)這時分解後，所有分向量都是最簡單漂亮的正弦函數 $\sin nx$ 或餘弦函數 $\cos nx$ 的倍數。這種將一個複雜的週期函數分出簡單的部份( $\sin$ 及 $\cos$ )，特別叫做諧和分析 (Harmonic Analysis)，在聲學上，在音樂上，都有用途。

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編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002