自然界的照妖鏡 (第 10 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│11│12│13　

自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介（第 10 頁）

林孝信

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊第一卷第二期
‧對外搜尋關鍵字

怎麼辦呢?

且先檢討一下週期函數的意義。所謂週期函數，便是自變數x加大一個定數(此數即週期)a，其值不變。從幾何圖形看來，這就相當於將自變數平移了某一定值。倘不論平移多長，總不能回到原函數值，便是無週期性函數了。因此我們可以將無週期函數看作是週期是無窮大。

從這條思路發展下去，便可將一個無週期性的函數展開。在週期函數的情形，我們是將之展成無窮項的和。

現在如週期是無窮大，展成的項數會多得多--怎麼多法呢?在傅氏級數裏，每一項是 $a_n\sin nx$ ，n 是 1，2，3， $\cdots\cdots$ 每個整數有一項，即n每加1才有一項。但在目前情形，n 是每增加一點點，便有一項。這「一點點」是多小呢?它當然比 1 小，比 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\dots$ 等等都小，換言之，它比任何固定的有限數目都來得小，因此它的總和無法用級數寫下來。

那該如何寫下來?我們先看另一個類似的例子。我們知道，長方形的面積是底乘高。現如有無窮個長方形擺在一起:

我們照樣可將每個長方形面積算出，然後再全部加起來。在這裏，每個長方形的高度都不一樣，因此像個樓梯。如果底的大小變得非常小，小到比任何固定的有限正數都小時，那麼代表樓梯形狀的曲線便變成一條光滑的曲線。這時面積怎麼求呢?它就是積分。

因此，我們知道，對於非週期性的函數，它展成的和不再是級數而是積分(積分本就是和的一種極限):

$\begin{displaymath}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} a_n(\cos nx+i\sin nx)dx\end{displaymath}$

叫做將函數展成傅氏積分 (Fourier Integral)，這裏我們將 $\cos nx$ 及 $\sin nx$ 和虛數號寫在一起，是為了便於求傅氏係數:

$\begin{displaymath}a_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)(\cos nx-i\sin nx)dx\end{displaymath}$

注意:積分已改從 $-\infty$ 到 $\infty$ 。

因為 n 常代表自然數 (1,2,3, $\cdots\cdots$ )，故改用 p 字，而把 $a_n\rightarrow a_p=a(p)$ ，再把 a 寫作 g，或 $a(p)\rightarrow g(p)$ ，如果我們把 $\cos nx+i\sin nx$ 簡寫作 $e^{inx}\rightarrow e^{ipx}$ ，把 n 代以 -n，則 $\cos nx -i\sin nx$ $\rightarrow e^{-inx}$ $\rightarrow e^{-ipx}$ ，又把 $\sqrt{2\pi}$ 乘進 g(p)，則我們便有對偶(dual)的式子:

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} g(p)e^{i... ... &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ipx}dx \end{eqnarray*}$

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│11│12│13　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002