我們不僅僅得到了傅氏展開法，我們還發現f和g二者地位完全對偶，看看上頭兩個式子，只不過一者用eipx，一個用e-ipx而已，因此，如果g(p)是f(x)的傅氏係數(廣義的)，則我們也可視f(x)為g(p)的傅氏係數。兩者完全是對偶的(Dual)。這真是料想不到的結果。
意外嗎?也不盡然。至少，對偶的觀念並不是很新奇的，平面幾何便有例子。只要你稍微注意一下，便發現「點」和「線」是很對偶的東西。例如:有「兩點決定一線」，就有「兩直線相交(即決定了)一點」(假設平行線交在無窮遠);有一個三點共線的定理，一定可以找到一個三線共點的定理。
又如我們看一條直線:
y=px+q
p是直線的斜率，q是截距。p和q決定了平面上的一條直線。這條直線是由無數點(即無數個x和y)滿足上述方程式。如讓我們考慮對偶的情形:通過一固定點(x,y)的直線有多少條呢?顯然有無窮條。每一條線由一對p和q所決定(即有無數個p和q滿足上述方程式)。
圖八
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更進一步，把方程式寫成:
q=-xp+y
則通過固定(x,y)的所有直線(由無數p,q決定)便相當於在PQ平面上的一條直線:
圖九
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斜率為-x，截距為y，這完全和XY面一樣(只是一者為+p，另者為-x)。
這豈不就是在傅氏積分中，一者為eipx，另者為e-ipx嗎?
在直線的例子，PQ-平面叫XY-面的對偶平面(Dual Plane)。在傅氏分析中q空間便叫做x空間的對偶空間(Dual Space)。
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