自然界的照妖鏡 (第 7 頁)

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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介（第 7 頁）

林孝信

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．原載於科學月刊第一卷第二期
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傅氏級數

有的，我們可以展成三角函數的級數。三角函數對我們也很熟悉， $\sin$ 和 $\cos$ 都具有諸多美德-連續，可微分，可積分，又多了一項週期性。因此對多週期函數(如各種波)，便常展成如下:

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{2} a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+a_3\sin 3x+ \cdots \\ && {} + b_1\cos x+b_2\cos 2x+b_3\cos 3x+ \cdots \end{eqnarray*}$

這級數叫傅氏級數(Fourier Series)，是法國數學家傅立業(Fourier)首先研究的。(關於傅立業生平，請參看本期曹亮吉寫的傳記:數學中美麗詩篇的創作者)

傅氏級數是傅氏分析的先河，用途極為廣泛。因此先介紹些它的性質。週期性--因為每一項本身有週期性，所以它們的和也有週期性。

(1)是不是任何函數都可展成傅氏級數? 不一定如此，它依然有些限制。但這限制要比展成冪級數鬆得多，不僅函數不需有各次微分，甚至還可以不連續(但不能是無窮大。此時不連續點的級數值等於函數在該點的平均值)，只要在一週期內沒有無限多的局部極大與極小(亦即不能無限次上下振動)，這個函數便可展成傅氏級數。這個傅氏定理是傅氏級數的中心定理。

(2)怎麼展成傅氏級數呢?

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\frac{1}{2} a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+a_3\sin 3x+\cdots\cdots \\ && {}+ b_1\cos x+b_2\cos 2x+b_3\cos 3x+\cdots\cdots \end{eqnarray*}$

換句話說，給你一個函數 f(x)，如何去求 a_n 及 b_n(叫做傅氏係數Fourier Coefficent)呢?

求a_n及b_n需用點積分知識（若你對積分不熟，請見最後的附錄）。你若須求a_n，便在上式兩端各乘 $\sin nx$ 。再積分一週期(如從0到 $2\pi$ )，所有其他項次便都等於零，右邊便只留下a_n項了。同法用來求b_n(改乘以 $\cos nx$ )，其結果是:

$\begin{eqnarray*} a_n &=& \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nxdx \\ b_n &=& \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nxdx \end{eqnarray*}$

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編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002