林琦焜

一、前言 二、微積分基本定理 三、線積分之物理意義 四、Green 定理 五、向量形式之 Green 定理 六、線積分的微積分基本定理 七、Green 定理在複變函數論之應用

數學沒有物理是瞎子，物理沒有數學是跛子。

一、前言

學習數學的經驗告訴自己「數學是很容易忘的」。這其中的原因乃是因為我們所學的數學是定義、定理、證明，這種三段式的數學。沒有動機，缺乏直觀，如此的數學如果你不曾打退堂鼓我還真的佩服，在這篇文章我們將以直觀的角度從幾何與物理的觀點來討論 Green 定理。

微積分基本定理可說是微積分最重要的結果之一，而線積分是一維積分的推廣， 因此我們面對線積分是否有相類似的結果：

線積分與雙重積分 (double integral) 之關係為何？

其答案是肯定的──Green 定理：

沿著封閉曲線 C 之線積分可化為 C 所圍區域 之一般雙重積分（面積分）。

這個定理最早出現是由英國自我教育的數學物理學家 George Green（1793∼1841）於1828年研究電學 (electricity) 與磁學 (magnetism) 所發現的，當然後來高斯 (Gauss) 等人也發現這結果，Green 的結果讓我們覺得非常之興奮，也更體會伽利略所言

數學是瞭解大自然的語言。

學數學若知道一些物理讓妳（你）永遠不曾感到孤單。

Green 定理是數學分析中最重要的定理之一，而在三維與更高維空間的推廣──Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem) 則構成了應用數學的基礎。