Green 定理與應用 (第 2 頁)

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Green 定理與應用（第 2 頁）

林琦焜

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．原載於數學傳播第二十一卷第四期
．作者當時任教於成功大學數學研究所
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二、微積分基本定理

微分與積分的關係這是微積分的主要房角石，實際上這正是牛頓與萊布尼茲對微積分最重要的貢獻，透過這個重要結果──微積分基本定理 (fundamental theorem of calculus)，我們明白微分與積分實際上是互為一體兩面，彼此是互相可逆的 (inverse)。

微積分基本定理：
$f : [a,b] \rightarrow \mathbf{R}$ 為一連續函數且 F'=f 則

$\begin{displaymath} \int_a^b F'(x)dx = \int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \eqno{(1)} \end{displaymath}$

這定理告訴我們要計算積分值 $\int_a^b f(x)dx$ 僅需求得函數 f 之原函數 (primitive, 或 antiderivative) F 即可。另外也說明了底下之事實：

一個函數之微分的積分值等於該函數之邊界值的差。

換句話說方程式(1)把區間的積分與作用於其「零維」(zero dimension) 邊界之上的「積分」（零維的積分是該點之值）連繫起來，這零維的邊界是兩個端點 a 與 b。

微積分基本定理之物理意義：

公式(1)我們可以比擬如下：如圖所示，假設有一根直的管子其截面積等於 A 是固定不變，有水在管內流動與流速為 F(X)，另外由於管壁非完全封閉因此管壁四周同時也有水滲入（或滲出），我們想問的是此滲入率為多少？（假設水的密度始終等於 1）我們取其中一段 $[x,x+\Delta x]$ 來看，在單位時間內滲入到這段管子的水量必須等於沿管子方向流出的水量與流進的水量之差

$\begin{displaymath} (F(x+ \Delta x)-F(x)) \times A \quad \mbox{({\fontfamily{cwM... ...ontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9})} \eqno{(2)} \end{displaymath}$

因此單位管長內水的滲入率為

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(F(x+ \Delta x)... ... & = & F'(x) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \eqno{(3)} \end{eqnarray*}$

若是整個區間 [a,b] 則全部滲入管內之水量為

$\begin{displaymath} \int_a^b f(x) dx =\int_a^b F'(x) dx \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \int_a^b f(x) dx = \int_a^b F'(x) dx = F(b) - F(a) \end{displaymath}$

由以上之分析可知微積分基本定理之物理本質就是守恆律 (conservation law)。

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002