康明昌

1.前言 2.幾何三大問題簡介 3.為什麼這些問題無解？ 4.超越數簡介 5.幾何三大問題不是幾何學研究的主流

1.前言

古希臘人在幾何學的研究開創了一個輝煌的時代。Euclid（歐基里德，約紀元前300年）的《幾何原本》(Elements) 總結了當時希臘數學發展的成果。由於幾千年經驗的累積，人類已經能夠掌握許多幾何知識。 如何有效的運用、正確的認識、以及更進一步的發展這些知識，促使希臘人有系統的去整理它們。這個工作的結果，就是《幾何原本》的纂成。《幾何原本》是希臘文明結晶品之一。

《幾何原本》把紛雜的知識變成一個演繹系統，推演出來有條不紊的定理；而這個系統所根據的（也就是沒有加以證明的）只是少數幾個看來相當明顯並且合乎人類經驗的現象。這幾個「不證自明」的現象叫做「公理」(axioms 或 postulates)； 由這些公理出發，Euclid 可以推演出當時人類已經獲得的幾何知識。

幾何作圖是幾何學研究的一個課題。正如希臘人整理《幾何原本》秉持的一貫精神，他們把幾何作圖的「競賽規則」 定得清清楚楚。希臘人的幾何作圖只准用（沒有刻劃的）直尺和圓規。據說，在紀元前351年的 Menaechmus 曾經建議把拋物線的製圖儀也列入合法的作圖工具，結果（根據 Plutarch 的說法）被Plato（柏拉圖）痛斥一頓，Plato 認為使用陋俗工匠製造的儀器來作圖，是在污辱幾何學。

古希臘人在研究幾何作圖時，有三個問題無法解決，這就是通稱的古希臘幾何三大問題。這些問題直到十九世紀才證明是無解的。所謂無解並不是數學家不能答覆這些問題，而是數學家能夠證明這些作圖問題是辦不到的，就像一般人能夠證明方程式 x²+1=0 沒有實數根的情況一樣。

既然這些問題是無解的，那麼幾何學家豈不是沒事幹了？事實恰恰相反，從十八世紀末期以來，幾何三大問題就已經不是幾何學研究的主流；十九世紀幾何學研究的主流是，射影幾何、非歐幾何、微分幾何與代數幾何。因此幾何三大問題的無解並沒有給幾何學家任何衝擊。

如果這麼說的話，幾何三大問題的解決豈不是毫無意義嗎?這也不盡然。幾何三大問題的解決，一方面結束了幾個歷史性懸而未決的問題，更重要的另一面是，它引發了新的問題──也就是超越數的研究。超越數的研究使數學家更熟練的駕馭複數系，更透澈的洞悉複數系的本質。超越數的研究就是數學家通稱的「Diophantine analysis and transcendental number theory」，這是目前數學研究非常熱門、非常重要的一部份。

本文的主題是介紹幾何三大問題與超越數的基本概念，同時也介紹十九世紀幾何學的幾個主要方向。