古希臘幾何三大問題 （註釋）

康明昌

 
註釋

...1
在放鬆這些條件時，例如，假設直尺可以刻劃，三等分角問題就可以進行了。有關這類變化，請參考 F. Klein,《Famous Problems of elementary geometry》。
...2
唸過抽象代數的人可能對我們在這裏的「體」的定義覺得不夠一般性。在抽象代數中，「體」是具有加法與乘法兩種運算的代數體系，這兩種運算具有某些特殊的性質。我們在這裏給的定義，其實是複數體之內的子體 (subfields) 的定體。歷史上來看，這種定義或下一個定義 $U(u_1 , \cdots , u_n)$ 就是 Kronecker 所謂的「domains of rationality」，這是數學家最先瞭解的「體」。
...3
要證明 $\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})=$ $\mathbf{Q}+\mathbf{Q}\sqrt[4]{2}+\mathbf{Q}\sqrt{2}+\mathbf{Q}\sqrt[4]{8}$ 我們只要能夠把分母有理化即可。具體的說，對於任意的多項式

\begin{displaymath}g(t)\in\mathbf{Q}[t]\end{displaymath}

只要 $g(\sqrt[4]{2})\neq 0$，我們都要有辦法把 $\frac{1}{g(\sqrt[4]{2})}$ 變成 $a+b\sqrt[4]{2}+c\sqrt{2}+d\sqrt[4]{8}$ 的形式,其中 a,b,c,d 是有理數。因為 f(t)=t4-2 是 Q 上的不可約多項式，且 f(t) 與 g(t) 互質（否則 f(t) 是 g(t) 的因式， $f(\sqrt[4]{2})=0$ 故 $g(\sqrt[4]{2})=0$），故可找到多項式 $\phi(t)$ 與 $\psi(t)$，使 $\phi(t)f(t)+\psi(t)g(t)=1$ 以 $t=\sqrt[4]{2}$ 代入，得

\begin{displaymath}\frac{1}{g(\sqrt[4]{2})}=\psi(\sqrt[4]{2})\end{displaymath}

利用 $(\sqrt[4]{2})^4=2$ 的關係，可以把 $\psi(\sqrt[4]{2})$ 化成

\begin{displaymath}a+b\sqrt[4]{2}+c\sqrt{2}+d\sqrt[4]{8}\end{displaymath}

的形式。
...4
令 $\alpha=\frac{1}{2}$，請讀者證明 $4t^3-3t-\frac{1}{2}$ 是Q 上的不可約多項式。
...5
若 α 與 β 是代數數，則

\begin{displaymath}[\mathbf{Q}(\alpha , \beta):\mathbf{Q}]<\infty\end{displaymath}

今 $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ $\in\mathbf{Q}(\alpha , \beta)$ 故

\begin{displaymath}1 , \alpha+\beta , (\alpha+\beta)^2 , \cdots , (\alpha+\beta)^n\end{displaymath}

必定在 Q 上線性相依，其中 n 是某個正整數。因此 $\alpha+\beta$ 是代數數。或者，令

\begin{displaymath}f(t) , g(t)\in\mathbf{Q}[t]\end{displaymath}

且 $f(\alpha)=0$,$g(\beta)=0$ 令 $\alpha=\alpha_1$,$\alpha_2$,…,$\alpha_n$ 是 f(t)=0 的 n 個根，考慮

\begin{displaymath}h(t)=g(t-\alpha_1)g(t-\alpha_2)\cdots g(t-\alpha_n)\end{displaymath}

則 $h(\alpha+\beta)=0$，則 h(t) 的係數是$\alpha_1$,$\alpha_2$,…,$\alpha_n$ 的對稱多項式，故 $h(t)\in\mathbf{Q}[t]$。同理請讀者證明 $\alpha\beta$ 也是代數數。
...6
有一段插曲。Klein 曾主持當時一套《數學百科全書》(Enzykiopädie der mathematische Wissensenschaften) 的編輯工作。他擬定許多主題，再邀請這些主題的專家寫作。其中一個主題就是要介紹類似 Feuerbach 定理這種初等幾何的結果。Klien 邀請 Max Simmon 寫這個主題。當 Simmon 寫好之後，Klein 改變主意了，他拒絕刊登這個主題。Klein 認為，像《數學百科全書》如此嚴謹的科學論著，是不容許這類初等幾何有任何立足的地方。因此，Simmon 只好自己出版他的論文，即 M. Simmon,〈Uber Entwicklung der Elementargeometrie in XIX Jahrhundert〉, 1906, Berlin.
   


最後修改時間: 5/3/2002