數的概念 (第 6 頁)

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數的概念（第 6 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第四期、第七卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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*附錄：如何建造實數系

本節的目的是要滿足某些好奇心特別強烈的同學。我們將在本節描述建造實數系的手法。同學要注意的是建造實數系的精神，而不是枝枝節節的證明。

事實上我們早就瞭解什麼是實數！遠在十七世紀René Descartes（笛卡爾，1596 - 1650）早就大膽的把實數和數軸上的點作一對一的對應。2這個數，把數軸上的點分成兩類，一種是{x：x<2，x是實數} ，另一種是{ x：x>2，x是實數} 。假使有一個人的右眼瞎了，他永遠只向左邊看（南北朝時代的確有這麼一個皇帝，所以他有一個妃子只化粧半邊臉）。那麼2這個數就決定了一個實數的子集合{x：x<2，x是實數} 。反過來說，子集合{x：x<2，x是實數} 也決定一個實數，那就是2，因為2剛好是「第一個」比這個子集合裏面任何數都大的數。

所以，我們不妨把2看成{ x：x<2，x是實數} ，把 $\sqrt{2}$ 看成{x： $x<\sqrt{2}$ ，x是實數} 。令人驚奇的不是這件事，而是：我們還可以把2看成{x：x<2，x是有理數} ，把 $\sqrt{2}$ 看成{x： $x<\sqrt{2}$ ，x是有理數} !

當然2這個數決定了有理數（！）的一個子集合{x：x<2，x是有理數} 。反過來說，另「第一個」比{x：x<2，x是有理數} 裏面任意數都大的實數（可能是也可能不是有理數）為α，我們要證明 $\alpha =2$ 。顯然， $\alpha\leq 2$ 。如果 $\alpha <2$ ，由習題6第11題，必可找到一個有理數a使得α<a<2因此 $a \in \{x：x<2，x \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \ch... ...pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}\}$ ，因此α不可能比{x：x<2，x是有理數} 裏面的任意數都大。矛盾。

同學自己試試證明：「第一個」比{x： $x<\sqrt{2}$ ，x是有理數} 裏面的任意數都大的實數就是 $\sqrt{2}$ 。

這個事實說明：我們可以用有理數去捕捉每一個實數，也就是把實數α做{x： $x<\alpha$ ，x是有理數} 。

現在我們假裝我們只認得有理數，不認得無理數，因此集合{x： $x<\alpha$ ，x是有理數} 對我們不一定有意義，因為如果α不是有理數，以上的集合實在令人難以瞭解。所以，我們要重新來瞭解這個集合。這個集合有什麼性質呢？

: 1.這個集合不是空集合，也不是全部有理數。
: 2.如果a在這個集合，b<a，b是有理數，則b也在這個集合。
: 3.這個集合沒有最大的元素。

如果把以上三種性質在數軸上表現出來，我們得到類似以下的圖形：

其中每一個點都是有理數。

幸運的是，以上三種性質剛好決定出一個有理數的子集合{x： $x<\alpha$ ，x是有理數} ，其中α是某個實數。（證明？）因此我們可以做以下的定義。

定義：一個Dedekind 切割 A（Dedekind cut） ⁶ 或簡稱切割，是一個有理數的子集合，具備以下性質，

: 1. $A\neq \emptyset$ ， $A\neq$ 有理數全部。
: 2.若 $a\in A$ ，b<a，b是有理數，則 $b \in A$ 。
: 3.若 $a\in A$ ，則必存在一個數α，α $\in$ A，a<α。

: 定義：所謂的實數就是某一個切割。

為什麼要把實數講得這麼古古怪怪的？因為我們假裝我們不認得無理數，只認得有理數，我們只好驅使有理數利用我們暗地裡早已熟知的實數的性質去捕捉實數。

有了切割的定義，我們就可以定義加法和乘法，並規定其中的大小關係。分述如下：

(1) 若A與B都是切割，則 $A\subseteq B$ ，A=B，或 $A\supseteq B$ 。

(2) 定義A<B，如果 $A\subseteq B$ 。

(3) 若A與B是兩個切割，定義A+B={a+b：a $\in$ A，b $\in$ B} 。很容易檢查A+B是一個切割。

(4) 定義0^*={x：x<0，x是有理數} 。可以證明：

$\begin{displaymath}A+0^{*}=0^{*}+A=A\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 214}]}\end{displaymath}$

對於切割A，必存在一個切割-A，使得

$\begin{displaymath}A+(-A)=(-A)+A=0^{*}\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\fontseries{... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 214}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A+B=B+A\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfon... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 13}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(A+B)+C=A+(B+C)\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\s... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 13}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A>B\Rightarrow A+C>B+C\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\fontseri... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 91}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A>0^{*}\Leftrightarrow -A<0^{*}\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}}\end{displaymath}$

(5) 若A>0^*，B>0^*，定義 $A\cdot B$ ={x：x是有理數，且x<rs對於某個r $\in$ A，s $\in$ B} 。

定義

$\begin{displaymath}A\cdot 0^{*}=0^{*}\cdot A=0^{*}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} A\cdot B= \left\{ \begin{array}{rl} (-A)\cdot (-B)&\mbox{, {... ...wM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

(6) 定義了兩個切割的乘法之後，又定義1^*={x：x<1，x是有理數} 。可以驗證：

$\begin{displaymath}A\cdot 1^{*}=1^{*}\cdot A=A\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM3}\fon... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 214}]}\end{displaymath}$

對於任意切割A， $A\neq 0^{*}$ ，必存在一個切割 $\frac{1}{A}$ ，使得

$\begin{displaymath}A\cdot\frac{1}{A} =\frac{1}{A}\cdot A=1^{*}\mbox{{\fontfamily... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 214}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A\cdot B=B\cdot A\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 13}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\quad\mbox{[{\fontfamily{c... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 13}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C\quad\mbox{[{\fontfamily{cwM0}\... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 13}]}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}A>B,C>0\Rightarrow AC>BC\end{displaymath}$

(7) 對於任意有理數r定義r^*={x：x<r，x是有理數} 。可以驗證：不同的有理數r與s，對應到不同的切割r^*與s^*。

$\begin{eqnarray*} r^{*}+s^{*}=(r+s)^{*}\mbox{,} \\ r^{*}s^{*}=(rs)^{*}\mbox{,} ... ...s\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} \\ \end{eqnarray*}$

因此我們可以把所有的切割（也就是所有的實數）看成有理數的擴張。這就是我們的實數系。這樣得到的實數系的確比有理數多，例如同學可以證明以下兩個切割都不能寫成r^*的型式，r是有理數：

$\begin{displaymath}\{ x:x\leq 0,x\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfo... ...\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}\}\mbox{,}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\bigcup_{n=1}^{\infty}\{ x:x\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseri... ...}}\}\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}}\end{displaymath}$

實數系比起有理數究竟有什麼優點？我們要慢慢說起。

若 S 是一個實數的子集合，α 是一個實數，α 叫做 S 的最大元素（the maximal element），如果 $\alpha \in S$ ，並且 $\alpha \geq x$ ，對於任意 $x \in S$ 。

若S是一個實數的子集合，α 是一個實數，α 叫做 S 的上界（an upper bound），如果 $\alpha \geq x$ ，對於任意 $x \in S$ 。

若S是一個實數的子集合，β是一個實數，β叫做S的最小上界（the least upper bound，或the superemum），如果β是S的上界，並且 $\beta\leq\alpha$ ，對於S的任意上界α。

舉個例子 S={x $\leq$ 2:x是實數} 的最大元素是2。2,3, $\frac{5}{2}$ ,40,100,… 都是 S 的上界，2是 S 的最小上界。T={x<2:x是實數} 沒有最大元素，2,3, $\frac{5}{2}$ ,40,100,… 仍然是T 的上界，2是 T 的最小上界。結論是要特別小心去區分最大元素與最小上界。