統計學淺談 (第 5 頁)

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統計學淺談（第 5 頁）

唐文標

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．原載於數學傳播第三卷第三期
．作者當時任教於英國劍橋大學
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(戊)概率函數：

X	前面出現	概	最少出現	概	最多出現	概	面為全同	概
	的次數	率	二次梅花	率	一次梅花	率		率
(梅,梅)	X=0	$\frac{1}{4}$	X=2	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$	X=1	$\frac{1}{4}$
(梅,蘭)	X=1	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$	X=1	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$
(蘭,梅)	X=1	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$	X=1	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$
(蘭,蘭)	X=2	$\frac{1}{4}$	X=0	$\frac{1}{4}$	X=1	$\frac{1}{4}$	X=1	$\frac{1}{4}$

我們這個表要說明同一個實驗，可以定義很多不同的函數-隨機變數。綜合隨機變數的值和概率，我們可以有一種容易運用的概率函數。上面表中的概率函數和累積概率分佈函數是：

X	P(X=x)=a_i	$\sum_{-\infty}^{N} P(X=x)=P(X\leq N)$
蘭面	$P(X=0)=\frac{1}{4}$	$P(X\leq 0)=\frac{1}{4}$
出現	$P(X=1)=\frac{2}{4}$	$P(X\leq 1)=\frac{3}{4}$
的次數	$P(X=2)=\frac{1}{4}$	$P(X\leq 2)=1$
最少出現	$P(X=0)=\frac{3}{4}$	$P(X\leq 0)=\frac{3}{4}$
二次梅花	$P(X=2)=\frac{1}{4}$	$P(X\leq 2)=1$
最多出現	$P(X=0)=\frac{1}{4}$	$P(X\leq 0)=\frac{1}{4}$
一次梅花	$P(X=1)=\frac{3}{4}$	$P(X\leq 1)=1$
兩面	$P(X=0)=\frac{1}{2}$	$P(X\leq 0)=\frac{1}{2}$
全同	$P(X=1)=\frac{1}{2}$	$P(X\leq 1)=1$
	概率函數	累積分佈函數

這裏的例子自然簡單一點，有時在複雜的實驗或煩瑣的要求時，隨機變數和它的概率函數也相應的複雜起來，我們且不談這些技巧上的問題，要指出的倒是：我們有成千上萬的隨機變數，每一個都有一個概率函數相隨，每一個現象或要求可以計算出一個隨機變數出來，只有滿足幾個簡單條件都可以過關了：

(一)隨機變數的定義值是互不混淆的。

(二)對每一個值都有一個0和1之間的概率函數值與之相對應：

$\begin{displaymath}P(X=x_i)=a_i,0\leq a_i \leq 1 \end{displaymath}$

(三)隨機變數的累積分佈函數的最小值為0，最大值為1。即是

$\begin{displaymath} 0 \leq P(X\leq x) \leq 1 \end{displaymath}$

這幾條條件並不太難滿足，因此分佈函數多得很了。我們回到原來問題想。到現在為止，進展是：我們要解釋一種社會現象，首先假設可以有一個數學模型(概率空間)來滿足這個要求。為了方便計算，把這模型用隨機變數這種方式寫出來。也就是說，我們先解答了隨機變數，然後把這模型寫成為它的分佈函數。因為社會現象如今可以假設它是一個分佈函數，或這現象的單元服從某個隨機變數的概率(密度)函數。 (密度函數應用到連續型的隨機變數上面。) 解釋社會現象變為了解它相伴的分佈函數，也就是在這分佈函數中找到「測度」來。

社會現象很多，每一次要分析一個現象，再要重新研究它所相應而生的隨機變數和分佈函數，太麻煩了。事實上，雖然隨機變數很多，但典型的分佈函數，供我們常用的不外二十個左右，所以我們不妨先研究一下幾個有代表性的分配函數。以後碰到一個社會現象時，只要把隨機變數類型認清楚，歸到某一典型的分佈函數，我們便可以簡單利用已研究清楚的性質和定理了。典型的分佈函數是

(一)二項分佈函數：(有限離散型)

凡隨機變數有二分型的特性;事件出現的方法非此即彼，非甲即乙，非善即惡……時，都是屬於這一類的分佈函數。它的概率函數是

$\begin{displaymath} P(X=x)=C_x^nP^x(1-P)^{n-x},x=0,1,2,\cdots\cdots,n \end{displaymath}$

(二)無限離散型;波爾松型：

凡隨機變數滿足一些條件：

: (1)事件發生的概率與（時間）區間長短有關，而與開始或結束地點無關。
: (2)現在發生之事件跟過去事件或未來事件無關。
: (3)短時期內只出現一簡單事件的概率和區間長度成比例。
: (4)短時間內出現多過一簡單事件機會很少。

在這些條件之下，出現了一個波爾松型隨機變數它的概率函數是，

$\begin{displaymath} P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}(\lambda)^x}{x!} ,x=0,1,2,\cdots\cdots \end{displaymath}$

(三)連續型；常態分佈函數：

當樣本數很大，隨機變數所取的值為很多時，適當變換後，有一個理想型的分佈函數出現：

$\begin{displaymath} P(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\rho}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\rho^2}}, -\infty \leq x < \infty,-\infty < \mu < \infty,0<\rho \end{displaymath}$

在普通情形中，大多隨機變數可用這三類型來代表。自然也可以進一步學多幾個不同類形的隨機變數。如卡方分佈、幾何分佈、Student 分佈

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002