你知道超越數嗎？ (第 8 頁)

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你知道超越數嗎？（第 8 頁）

林聰源

．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於清大數學系

‧註釋
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辛

Weierstrass 是分析的鼻祖與重臣之一，許多超越性理論經他的手變得更完美，更易於為人所瞭解，更顯出其重點之所在，比如我們今日在一般教科書上所看到的有關 e 和 π 的超越性的證明有些就是 Weierstrass 的傑作。除此之外，他也有下列獨創的成果（發表於1855年）：

: 定理：設 $\alpha_1, \alpha_2$ ,…, $\alpha_n$ 為相異代數數，則 $e^{\alpha_1},e^{\alpha_2}$ ,…, $e^{\alpha_n}$ 在體 A 上是線性無關的。

此定理涵蓋了許多以前的結果於一爐：

: (1) 取 $\alpha_1=0$ , $\alpha_2=\alpha$ ，則 $e^{\alpha_1}=e^0$ , $e^{\alpha_2}=e^{\alpha}$ 由此定理即得 1 與 $e^\alpha$ 在體 A 上線性無關，也就是說 $e^\alpha$ 是超越數，此即庚節(1)。特別地，取 $\alpha=1$ 則得 Hermite 定理。
: (2) 設 $\beta \neq 0,1$ 為代數數， $\alpha =\log{\beta}$ 。若 α 為代數數，則取 $\alpha_1=0$ , $\alpha_2=\alpha$ ，由此定理可知 $\beta=e^{\alpha}\in \mathbf{A}$ 這是矛盾，故得庚節(1)。
: (3) 設 π 為代數數，則取 $\alpha_1=0$ , $\alpha_2=\pi i$ 由此定理可知 $e^{\pi i} \not\in \mathbf{A}$ 但有 Euler 恒等式 $e^{i\pi}=-1$ 這是矛盾，故得 Lindemann 定理。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002