你知道超越數嗎？ (第 2 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10　

你知道超越數嗎？（第 2 頁）

林聰源

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於清大數學系

‧註釋
‧對外搜尋關鍵字

乙

在數學史上第一個引起我們注意，和超越性有關的事蹟是在1737年，瑞士人 Euler 證明的一個定理：

: 定理：
e，自然對數的底，是一無理數。

證明：
由對數的定義以分析方法可導出：

$\begin{displaymath} e= \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{displaymath}$

今就 e 之無窮級數表法，將 e 寫成「部分和」S_n 及「尾巴級數」r_n 的和，即

$\begin{displaymath} e=s_n +r_n,\quad n=1,2,\cdots \end{displaymath}$

其中

$\begin{displaymath} s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!},\quad r_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \end{displaymath}$

由於

$\begin{eqnarray*} r_n&=& \frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+ ... ...minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 13}} \end{eqnarray*}$

當 n=1 時，e=s₁+r₁，s₁=2， $r_1 < \frac{e-1}{2}$ 故得

$\begin{displaymath} e < 2+ \frac{e-1}{2} \end{displaymath}$

由此式可解出 e<3（事實上 $e=2.718\cdots$ ），因此

$\begin{displaymath} 0 < r_n<\frac{2}{(n+1)!},\quad n=1,2, \cdots \end{displaymath}$

令 a_n=n!s_n，b_n=n!r_n 則 a_n 為正整數，而

$\begin{displaymath} 0<b_n<\frac{2}{n+1}\leq1,\quad n=1,2, \cdots \end{displaymath}$

由等式 n!e=a_n+b_n，右式非為整數，故 n!e 非整數，明顯地 ne 也不可能是整數了，此一事實對所有正整數 n 都成立，因此 e 不是有理數，證明完畢。

Euler 不僅是一位想法很多，也很會算的數學家，他還是一個善於創造符號的人；譬如說 $e,\pi$ 及 $\log$ 都是由他首創，一直通行至今的。他所完成的工作中，最為人所樂道，而且也是流傳最廣的，是下列所謂的 Euler 恆等式：

$\begin{displaymath} e^{i \pi}+1=0 \end{displaymath}$

此式值得我們注意一下，它包含五個數，即 $e,\pi,i,1,0$ ，以及兩個符號 +,=，這五個數是數學中最重的五個數，而這兩個符號也是算術中最基本的符號。在數學中，像這麼漂亮而典雅的式子，恐怕很難找到了。在以後的章節裏將會用上它，而發現它是很重要的一個式子。

Euler 本人對 $e,\pi$ 及 $\log_a{b}=\frac{\log b}{\log a}$ （ $a,b \in \mathbf{Q}$ ，a,b > 1）這些數之研究不遺餘力，1750年他提出如下猜測：

: Euler 猜測
$e,\pi$ 及 $\log_a{b}$ 均為超越數 ^註1

　1│2│3│4│5│6│7│8│9│10　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002