你知道超越數嗎？ (第 4 頁)

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你知道超越數嗎？（第 4 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於清大數學系

‧註釋
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丁

1844年 Liouville 發現代數數以有理數逼近時，不能超過某種限度，他的結果如下：

定理：
設 ξ 為一無理代數數，其次數為 $s(s\geq2)$ ，則存在一正常數 c 使不等式

$\begin{displaymath} \vert\xi-\frac{p}{q}\vert>\frac{c}{q^s} \end{displaymath}$

對所有有理數 $\frac{p}{q}$ , (q>0) 成立。

根據這個定理，馬上有如下結論：

系：設 $\{ \frac{p_n}{q_n}\}_{n=1}^{\infty}$ 為一有理數序列， $\{ s_n\}_{n=1}^{\infty}$ 為一實數序列，且 $\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=+\infty$ 滿足所有不等式

$\begin{displaymath} \vert\xi-\frac{p_n}{q_n}\vert \leq \frac{1}{q_n^{s_n}} ,\quad n=1,2, \cdots \end{displaymath}$

則 ξ 為一超越數。

證明：設其不然，則 ξ 為一代數數，令其次數為 s，則根據上定理之結論與本定理之假設，下列不等式

$\begin{displaymath} \frac{c}{q_n^s}< \vert\xi-\frac{p_n}{q_n}\vert \leq \frac{1}{q_n^{s_n}} \end{displaymath}$

對所有的 n=1,2,… 成立。此即蘊涵

$\begin{displaymath} 0 < \frac{c}{q_n^s} \leq \frac{1}{q_n^{s_n}} ,\quad n=1,2, \cdots \end{displaymath}$

化簡即得 $0<c\leq q_n^{s-s_n}$ ；但另方面當 $n\rightarrow + \infty$ 而 q_n 大於 1 時， $s-s_n \rightarrow -\infty$ 故而 $q_n^{s-s_n}\rightarrow 0$ 。這就導出一個矛盾，因此 ξ 為超越數，證明完畢。

利用此系可製造出無數之超越數，此種超越數特稱為 Liouville 氏數。以下即為一例。

[例] $\xi=\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{10^{v!}}$ 為一 Liouville 氏數。

證明：
由無窮級數之比較審斂法，因

$\begin{displaymath} \frac{1}{10^{v!}} \leq \frac{1}{10^v} \quad v=1,2, \cdots \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{10^{v!}} < \sum_{v=1}^{\infty}\frac{1}{10^v} = \frac{1}{9} \end{displaymath}$

因之 $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{10^{v!}}$ 為一收斂級數，設其部分和

$\begin{displaymath} S_n=\frac{p_n}{q_n},\mbox{{\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 185}}\frac{p_n}{q_n}=\sum_{v=1}^{n}\frac{1}{10^v} \end{displaymath}$

由觀察可知 q_n=10^n!，另方面

$\begin{eqnarray*} \vert\xi-\frac{p_n}{q_n}\vert &=& \sum_{v=n+1}^{\infty}\frac{... ...t \frac{1}{(10^{n!})^n} < \frac{1}{(10^{n!})^n}<\frac{1}{q_n^n} \end{eqnarray*}$

故可取 s_n=n，代入系中，而知 ξ 為一超越數。

例中的 ξ 以小數點表示時，呈 0.110001000 之型，1 之出現越來越稀疏，此現象可看成是超越數的充分條件。如果以 2 易 10 而考慮 $\sum_{v=1}^{\infty}\frac{1}{2^{v!}}$ 時，也得一超越數。有人證過下列由正整數排列所得之小數亦為一超越數：

$\begin{displaymath} \eta = 0.1\, 2\, 3\, 4\, 5\, 6\, 7\, 8\, 9\, 10\, 11\, 12\, 13\, \cdots \end{displaymath}$

Liouville 的這些定理後來經過不少數學家的進一步研究而加以改進，現在我們稱這種理論為「超越測度理論」。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002