總結上述（之一至之五篇），我們終於得到五條幾何公理與五條一般公理，詳述如後。

1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。

2.線段(有限直線)可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角， 則兩直線作延長時在此側會相交。

如圖五十二，兩直線 L₁ 與 L₂ 被 L 所截， 小於兩個直角，則 L₁ 與 L₂ 延伸相交於 P 點。

上述前三條公理是尺規作圖公理，用來定直線與圓。在紙面上用尺規劃出的任何直線與圓，按定義而言，都不是「真正」數學上的直線與圓。然而，歐氏似乎是說：我們可以用尺規作出近似的圖形，以幫助我們想像真正的圖形，再配合正確的推理就夠了。

第四條公理比較不一樣，它好像是一個未證明的定理。事實上，它宣稱著：直角的不變性或空間的齊性 (the homogeneity of space)。它規範了直角，為第五公理舖路。

第五公理又叫做平行公理 (the parallel axiom)，因為它等價於：

5'.在一平面內，過直線外一點，可作且只可作一直線跟此直線平行。

圖五十二

5'. 似乎是畢氏學派的說法，因為畢氏學派曾利用它來證明三角形三內角和定理。歐氏為何要改成上述5的說法呢？最主要的理由是要避開「無窮」，因為所謂平行線是指兩直線「無限地」延伸，「永遠」都不相交。這些「無限」、「永遠」都是有涯人生所經驗不到的事情。

1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。

2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。

3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減法公理）。

4.完全疊合的兩個圖形是全等的（移形疊合公理）。

5.全量大於分量，即 a+b>a（全量大於分量公理）。

一般公理不止適用於幾何學，對於其他學科也行得通。

事實上，歐氏《幾何原本》開宗明義是由23個定義出發，接著才是十條幾何公理與一般公理。在23個定義中，首六個特別值得提出來討論：

1.點是沒有部分的(A point is that which has no part.)。

換言之，點只占有位置而沒有大小，即點的長度 d=0。這是修正畢氏學派「d>c」的失敗而得到的。然而，在談論線段的長度時，歐氏直接訴諸於常識，根本不用這個定義，避開了「由沒有長度的點累積成有長度的線段」之困局。許多人抱怨「點是沒有部分的」這句話難於理解，這是因為對畢氏學派的研究綱領缺乏了解的緣故。

2.線段只有長度而沒有寬度(A line is breadless length.)。

3.線的極端是點(The extremities of a line are points.)

4.直線是其組成點，均勻地直放著的線 (A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.)

5.面只有長度與寬度(A suface is that which has length and breath only.)

6.面的極端是線(The extremities of a surface are lines.)。

4∼6這三個定義表示，面是由線所組成的，沒有厚度。因此，面只有面積，而沒有體積。

其餘的定義，請見參考資料14。

利用23個定義、10條幾何公理於一般公理，我們就可以推導出：等腰三角形的正逆定理，三角形三內角和定理。 進一步還可以推導出泰利斯 (Thales) 基本定理，用同一種正多邊形舖地板只有三種樣式，正多面體恰好有五種。事實上，這10條公理就是歐式幾何的總源頭，已經可以推導出整個歐式幾何了。

總之，歐式吸取畢氏學派失敗的經驗，重新「分析」與「整理」既有的幾何知識，另闢路徑，改幾何本身來建立幾何（不用畢式經驗式的原子論，即使優多諸斯已補全了畢氏學派的漏洞）並且採用公理化的手法，逐本探源，最後終於找到五條幾何公理與五條一般公理是歐氏的創造與發現過程。接著是「綜合」，利用10條公理配合優多諸斯檢定法則、反證法（歸謬法）與尺規作圖，推導出所有的幾何定理，這是邏輯的證明過程。

因此，歐氏幾何的建立，採用了分析與綜合的方法。這不止是ㄉ單獨一個命題的前提與結論之間的連結，而是所有幾何命題的連結成邏輯網路，即整個幾何領域的全面之分析與綜合。

歐氏視10條公理為「顯明」的真理，從而所有幾何定理也都是真理。換言之，由源頭輸入真值 (truth values)，那麼沿著邏輯網路，真值就流布於整個歐氏演繹系統。歐氏以「朝生暮死」之軀，竟然能作出永恆之事！美國女詩人米雷（E.S.V. Millay, 1892∼1950）說：

只有歐氏見過赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。

歐氏的生平不詳，只知他是亞歷山卓 (Alexandria) 大學（世界上第一所大學）的數學教授，約紀元前300年編輯完成《幾何原本》。另外，歐氏流傳有兩個故事，其一是，有一位學生跟歐氏學習幾何，問道：「學習幾何可以得到什麼利益？」歐氏立刻令僕人拿三個錢幣打發這位學生走路，因為他想從追求真理中得到利益，其二是，托勒密 (Ptolemy) 國王覺得幾何很難，於是問歐氏：「學習幾何有沒有皇家大道（即捷徑）？」歐氏回答說：「通往幾何並沒有皇家大道。」(There is no royal road to geometry.)

古希臘人對於經驗幾何知識的錘練，首由泰利斯發端，接著是畢氏學派提出「直觀性常識的幾何原子論」，假設點的長度大於0，從而任何兩線段皆可共度。由此嘗試給幾何建立基礎：後來，終因不可共度線段的發現而破產。這讓古希臘哲學家監決地走向「知識必須再經過邏輯論證」的道路。數學史家 Szabo（詳見參考資料3）因而主張：不可共度線段的發現，是促使希臘幾何走上演繹形式的關鍵，其中歸謬法扮演著催生的作用，終於導致歐氏幾何的誕生。

此外，千百年來對歐氏建立幾何的動機，作了許多猜測：

(i)對畢氏學派失敗的回應。

(ii)為了堵住懷疑派 (Sceptics) 與詭辯派 (Sophists) 哲學家之口，因為他們利用「無窮回溯法」(the infinite regress method)而論證說：「為何知道甲？因為乙；為何知道乙？因為丙；……沒完沒了，所以我們無法知道甲。」結論是：「我們一無所知，或至少我們無法確定我們知道什麼」。面對這樣的挑戰，最好的回應方式是去建立讓人信服的知識殿堂，歐氏辦到了。

(iii)為了安置柏拉圖的五種正多面體，正多面體是柏拉圖的字宙論之基石。 《幾何原本》的最後一冊(即第13冊)就是以建構這五種正多面體、研究它們的性質為主。歐氏以它們作為總結。

(iv)為了體現柏拉圖與亞里斯多德對科學與數學的看法，因為歐氏是柏拉圖學派的人。他為真理而真理，用幾何展示邏輯推理的威力，由第一原理（公理）導出所有幾何知識。

總而言之，吉希臘哲學家對於存有之謎 (the enigma of being)、流變之謎 (the enigma of becoming) 以及知識之謎感到十分驚奇，一心要找到「構成物質世界的要素」、澄清變化與運動現象、追問什麼是真理。對這三個萬古常新的論題，經過長期而熱烈的討論、爭辨，提出各式各樣針鋒相對的理論與學說，產生了非常豐富的科學的、數學的、哲學的思潮，而成就了所謂的「希臘奇蹟」。歐氏幾何是這個奇蹟中所開出的一朵不朽之花。

文末，筆者留下一個深刻而耐人尋味的問題：是什麼樣的社會土壤和文化氣候，孕育出這個奇蹟？別的社會為什麼不能？

附記：由於文獻並不充足，本文許多段落都是筆者的臆測與插補 (interpolations)。好在筆者的目標不在於繁瑣的歷史考據，尚祈讀者行家指正。筆者參與曹亮吉教授在台大主持的「高中數學學習成就優異學生輔導實驗計畫」，每年都要講述一次歐氏幾何，本文就是根據筆者的構思所整理出來的。