從畢氏學派到歐氏幾何的誕生 (第 5 頁)

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從畢氏學派到歐氏幾何的誕生（第 5 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十六卷第二期～第七期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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四、

「不可共度」引出的兩個難題

面對大自然的森羅萬象，古希臘哲學家提出「有窮」與「無窮」、「離散」與「連續」、「一」與「多」、「變」與「不變」等「正、反」對立的主題；經過長期而熱烈的討論與爭辯，產生了非常豐富的哲學思潮。在這個思潮之下，結晶出來最具代表性的成果是：柏拉圖與亞里斯多德的哲學，以及歐幾里得的《幾何原本》。

關於幾何學的研究，我們再作一下綜合整理。畢氏學派「大膽地假設」：線段經過「有窮步驟」(finite processes) 的分割，就抵達「不可分割」(indivisible) 的「點」(point)。於是，點像小珠子一樣，具有一定的長度 d>0，線段是由點所組成的。從而，任何兩線段皆可共度，並且度量只會出現整數與有理數。據此，畢氏學派用「算術」（整數及其比例的理論）相當成功地建立了幾何學的基礎。

但是，後來經過「小心地求證」，畢氏學派發現了不可共度線段，使得幾何學從「有窮」與「離散」擺蕩到「無窮」與「連續」這一邊。點的長度為零，度量必然出現無理數。

因為古希臘人對於數的概念只及於整數與有理數，所以不可共度線段出現後，有兩條路可走：

(i)接受無理數為數，擴大數的概念成為實數，以應付幾何學之所需；

(ii)拒絕承認「無理數」為數，但接受不可共度線段為實際的存在。

第一條路必須建構實數系，直接面對「無窮步驟」(infinite processes)。這對古希臘人似乎太難了，所以他們選擇了第二條路；並且將畢氏學派的「算術優先論」與「數形一家」改為「幾何學優先論」，迫使數與形開始分家。這對於數學的發展產生了不利的影響，因為數缺少形就少了直覺，形缺少數也難入微。

不可共度線段的發現，引出下面兩個難題：

(i)如何補救畢氏學派的缺失？: 事實上，畢氏學派的幾何研究綱領並沒有完全失敗。對於長方形面積公式及相似三角形基本定理，畢氏學派所證明的可共度情形並沒有錯，只需再補上不可共度情形的證明就好了。
(ii)局部與大域之間如何連結？: 動點成線，動線成面，動面成體。換言之，線、面、體分別由點、線、面組成。但是，點沒有長度，如何累積出有長度的線段？同理，線段只有長度，沒有寬度，即線段沒有面積，如何累積出有面積的平面領域？面有長度與寬度，但沒有厚度，即面沒有體積，如何累積出有體積的空間領域？這些問題更深刻難纏，直到微分法與測度論 (measure theory) 出現才完全解決。

上述兩個難題分別就是幾何學與早期「積分」所面臨的困局。優多諸斯 (Eudoxus) 提出比例論 (theory of proportion) 解決了(i)，又提出窮盡法 (method of exhaustion) 初步克服了(ii)。這是他對數學的兩個偉大貢獻。

優多諸斯的比例論

優多諸斯出身於柏拉圖學院，是一位傑出的數學家，對天文學尤感興趣。他面對自然現象時，堅決訴諸觀測與理性的分析，從不接受「怪力亂神」的解釋。因此，數學史家奚斯 (Heath) 稱讚他為「科學至人」(a man of science)。

優多諸斯的比例論，其核心是三個定義：

定義一：設 a 與 b 為兩個同類的幾何量（例如線段長或面積或體積）。如果存在自然數 m 與 n（包括 1），使得

$\begin{displaymath} ma > b \mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47} } nb>a \end{displaymath}$

則稱此兩量的比值 $\frac{a}{b}$ 存在（或記成 a : b）。

這個定義排除掉無窮大與無窮小的量，只討論有限量。因為無窮小量的任何有限倍還是無窮小量，有限量的任何有限倍都不能超過無窮大。定義一是說：兩個有限的幾何量，不論可共度或不可共度，就可談論比值。

事實上，這個定義跟今日所謂實數系的阿基米得性質 (Archimedean property) 具有密切關係：

如果 a 與 b 為兩個正的實數，則存在自然數 m，使得 ma > b。

阿基米得性質可以作兩種生動的解釋：

(i) 阿基米德用一根小湯匙，每次的取水量為 a>0，那麼不論多大的一池洗澡水 b>0，只要夠多次，乃可取光所有的池水（阿基米得曾在洗澡時，悟出浮力原理，解決皇冠是純金與否的問題，而演出裸奔。）

(ii) 烏龜的步幅 a>0，很小，兔子在烏龜前頭 b，很大，那麼只要烏龜持之以恆，一步一步地必可趕過兔子（當然必須假設兔子睡大覺）。

有了比值的概念，接著就是判定兩個比值的「相等」與「不等」。

定義二（優多諸斯檢定法則）：設 a, b, c, d 為四個有限量。如果對於任何自然數 m 與 n 恆有：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} ma>nb \Longleftrightarrow mc> nd \\... ...a<nb \Longleftrightarrow mc< nd \end{array}\right. \eqno{(1)} \end{displaymath}$

則稱 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$ 。

事實上，(1)式中任何一式都可用來判別 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$ 。以下第二式對應是的可共度的情形。

我們將(1)式簡記為

$\begin{displaymath} ma \frac{>}{<} \Longleftrightarrow mc \frac{>}{<} nd \eqno{(2)} \end{displaymath}$

或者

$\begin{displaymath} \frac{a}{b} \frac{>}{<} \frac{n}{m} \Longleftrightarrow \frac{c}{d} \frac{>}{<} \frac{n}{m} \eqno{(3)} \end{displaymath}$

這是一個絕妙的定義。考慮 a,b 皆為線段長的情形：a 與 b 可共度是指存在共度單位 u，使得 $a=n \cdot u$ , $b = m \cdot u$ ，從而 $\frac{a}{b} = \frac{n}{m}$ 為有理數。換言之，用 $u= \frac{n}{m}$ 去度量 a，恰好 n 次可度量乾淨。這些都是古希臘人能夠了解的。但是，當 a 與 b 不可共度時， $\frac{a}{b}$ 不是有理數，即對於任意自然數 m，用 $u= \frac{n}{m}$ 去度量 a，都度量不盡，此時存在某個自然數 n，使得度量 n 次，還未度完，而度量 n+1 次又超過，於是：

$\begin{displaymath} n \cdot \frac{b}{m} < a < (n+1) \cdot \frac{b}{m} \end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath} \frac{n}{m} < \frac{a}{b} < \frac{n}{m} + \frac{1}{m} \end{displaymath}$

因此，若用有理數 $\frac{n}{m}$ 或 $\frac{n}{m}+ \frac{1}{m}$ 作為 $\frac{a}{b}$ 的近似估計，則絕對誤差皆小於 $\frac{1}{m}$ ，現在讓 m 逐步增大，則可逐步地求得 $\frac{a}{b}$ 的左右夾逼的兩個有理數列，它們之間的距離越來越小，終究會捕捉住 $\frac{a}{b}$ 。換言之，用大於或小於 $\frac{a}{b}$ 的有理數就可以完全確定 $\frac{a}{b}$ 。大約兩千年後，戴德金利用有理數的「切斷」(Dedekind cut)：

$\begin{eqnarray*} L &=& \{ \frac{n}{m} : \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\... ...fontseries{m}\selectfont \char 98}} \frac{n}{m} > \frac{a}{b} \} \end{eqnarray*}$

來定義無理數 $\frac{a}{b}$ ，亦即將 (L,U) 等同為 $\frac{a}{b}$ 。這個想法就是根源於優多諸斯的檢定法則而來的。因此，優多諸斯的檢定法則是深謀遠慮的，令人佩服。

定義三：設 a, b, c, d 為四個量，若存在自然數 m 與 n 使得 ma > nb，且 $mc \leq nd$ ，則稱 $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ 。這個定義其實是說，如果存在自然數 m 與 n 使得

$\begin{displaymath} \frac{a}{b} > \frac{n}{m} \geq \frac{c}{d} \end{displaymath}$

則稱 $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ 。我們也注意到，對於古希臘人來說，

$\begin{displaymath} ma>nb \mbox{ {\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 68} } mc \geq nd \end{displaymath}$

原則上都可以用幾何度量加以檢定。

為什麼要考慮「比例」及其「相等」或「不等」的判別法呢？

因為整個定量幾何的基礎是度量，即用一個量來度另一個量，這就是比例的概念，所以古希臘人特別重視比例的研究。

對於只知道且只承認有理數（兩整數比）才是數的古希臘人（尤其是畢氏學派的人），遇到兩個同類幾何量 a 與 b 的比值，就分成兩種情況：

(i)當 a 與 b 可共度時， $\frac{a}{b}$ 為一個有理數。這是毫無困惑的，他們完全清楚了解。畢氏學派起先誤以為這就是事情的全部，後來發現不可共度線段，古希臘人才知道必須再考慮下面第二種情況。

(ii)當 a 與 b 不可共度時， $\frac{a}{b}$ 不是一個有理數，他們稱之為「不可說」(the unutterable)，是不可理喻的，好像是遭遇到「言語道斷」的困境。（今日我們叫做「非比數」或「無理數」）他們拒絕承認 $\frac{a}{b}$ 是一個數，但承認它是兩個幾何量的「比例」（如兩線段的比例），這是實際存在的。

兩千多年後的我們，「站在許多巨人的肩膀」上（牛頓之語），可以完全清楚優多諸斯的偉大工作。用現代的術語來說就是：古希臘人發現了「無理數」，瓦解了畢氏學派要將幾何學與宇宙論化約成算術（整數論）的研究綱領，因此「算術是不夠的，你必須知道幾何學！」我們更能體會柏拉圖所說的「不知道正方形的邊與對角線是不可共度的人，愧生為人！」以及柏拉圖學院入門處的警語「不懂幾何學的人不得進入此門」這些話的深義。

優多諸斯要馴服無理數，於是以幾何方式（古希臘人能接受的）提出無理數以及兩個無理數相等或不相等的定義，這堪稱是偉大的定義。在邏輯上雖然不夠周全（以現代的眼光來看），但已夠當時的使用，並且也蘊藏了現代實數論的胚芽 (germs)。換句話說，優多諸斯所做的就是建立實數論的初步工作。

下面我們來看優多諸斯如何彌補畢氏學派的漏洞。

定理十一(相似三角形基本定理)

如果 $\triangle ABC$ 與 $\triangle A'B'C'$ 兩個三角形的三個內角對應相等，則對應達成比例，即

$\begin{displaymath} \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} =\frac{BC}{B'C'} \eqno{(4)} \end{displaymath}$

說明：按定義，如果兩個三角形具有對應角相等且對應邊成比例，則稱此兩個三角形相似（全等是相似的特例）。因此，上述定理是說，兩個三角形只要三個內角對應相等就相似了。事實上，由三角形三內角和恆為一平角定理得知，只要兩個兩角對應相等就相似。

圖三十八

對於上述定理，當AB與A'B'是可共度的情形，我們已經證明過。現在只需再證明 AB 與 A'B' 是不可共度的情形就好了。

如圖三十八，在 $\angle A = \angle A'$ , $\angle B = \angle B'$ , $\angle C = \angle C'$ 的條件下，我們要證明(4)式成立。例如，欲證

$\begin{displaymath} \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'} \end{displaymath}$

根據優多諸斯檢定法則，我們必須證明：對於任意自然數 m 與 n，恆有

$\begin{displaymath} m \cdot AB \frac{>}{<} n \cdot A'B' \Longleftrightarrow m \cdot AC \frac{>}{<} n \cdot A'C' \eqno{(5)} \end{displaymath}$

今因 AB 與 A'B' 不可共度，故 $m \cdot AB$ 可能，因此只需證明：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} m \cdot AB > n \cdot A'B' \Longleft... ...arrow m \cdot AC < n \cdot A'C' \end{array}\right . \eqno{(6)} \end{displaymath}$

(i)假設 $m \cdot AB > n \cdot A'B'$ ，亦即設

$\begin{displaymath} AB > \frac{n}{m} \cdot A'B' \eqno{(7)} \end{displaymath}$

在 AB 上取一點 B₁，使得 $\frac{n}{m} \cdot A'B' = AB_1$ ，則 AB₁ 與 A'B' 可共度且 AB>AB₁。再過 B₁ 點作 B₁C₁ 平行於 BC 且交 AC 於 C₁ 點。於是 $\bigtriangleup AB_1C_1$ 與 $\bigtriangleup A'B'C'$ 有三個內角對應相等，根據畢氏學派已證過的可共度情形之相似三角形基本定理（定理七），可知

$\begin{displaymath} \frac{n}{m}= \frac{AB_1}{A'B'}=\frac{AC_1}{A'C'}= \frac{B_1 C_1}{B'C'} \eqno{(8)} \end{displaymath}$

因為 AB>AB₁，故 AC>AC₁，於是

$\begin{displaymath} \frac{AC}{A'C'} = \frac{AC_1}{A'C'} = \frac{n}{m} \end{displaymath}$

從而

$\begin{displaymath} m \cdot AC > n \cdot A'C' \end{displaymath}$

反過來，由 $m \cdot AC > n \cdot A'C'$ ，同理也可推導出 $m \cdot AB > n \cdot A'B'$ 。

(ii) 假設 $m \cdot AB < \frac{n}{m} \cdot A'B'$ ，亦即設

$\begin{displaymath} AB < \frac{n}{m} \cdot A'B' \eqno{(9)} \end{displaymath}$

在 AB 的延長線上取 B₂ 點，使得 $\frac{n}{m} \cdot A'B' = AB_2$ ，則 AB₂ 與 A'B' 可共度且 AB₂ = AB。再過 B₂ 點作 B₂ C₂ 平行於 BC 且交 AC 的延長線於 C₂ 點。於是 $\bigtriangleup AB_2C_2$ 與 $\bigtriangleup A'B'C'$ 相似，故有

$\begin{displaymath} \frac{n}{m}=\frac{AB_2}{A'B'}=\frac{AC_2}{A'C'}=\frac{B_2C_2}{B'C'} \end{displaymath}$

由 AB₂ > AB，可知 AC₂ > AC，所以

$\begin{displaymath} \frac{AC}{A'C'}=\frac{AC_2}{A'C'}=\frac{n}{m} \end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath} m \cdot AC < n \cdot A'C' \eqno{(10)} \end{displaymath}$

反之亦然，即由(10)式也可推導出(9)式。

綜合(i)與(ii)兩種情形，我們就證明了

$\begin{displaymath} \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'} \end{displaymath}$

同理，我們也可以證明

$\begin{displaymath} \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} \end{displaymath}$

因此，(4)式就得證了。

* * * * * * * * * * * * * * * *

優多諸斯救住了相似三角形基本定理，從而利用它來證明的畢氏定理也得以保全了。對於畢氏定理的證明，後來歐幾里得並沒有採用這條路線，他改採「全等則面積相等」的辦法。

圖三十九

其次，我們看長方形的面積公式，如圖三十九。當任何兩線段皆可共度的情形，畢氏學派已經證過長方形 A 的面積為 $a \cdot h$ （參見定理三）。

但是，當兩線段不一定可共度時，就需要利用優多諸斯的檢定法則來證明了。

補題：設 A、B 為兩個矩形，具有相同的寬度，見圖三十九，則

$\begin{displaymath} \frac{A}{B}=\frac{a}{b} \eqno{(11)} \end{displaymath}$

證明：我們必須證明，對任意自然數 m 與 n，

$\begin{displaymath} mb >na \Longleftrightarrow mB > nA \end{displaymath}$

假設 mb > na。將 n 個 A 併連成一列，m 個 B 也併連成一列，得到長分別為 na 與 mb，高為 h 的兩個矩形 mB 與 nA。因為 mb > na，所以矩形 mB 比 nA 大，即 mB >nA。反過來，由 mB> nA 亦知 mb > na。

同理，我們可以證明，對任意自然數 m 與 n，

$\begin{eqnarray*} mb &>& na \Longleftrightarrow mB > nA \\ mb &>& na \Longleftrightarrow mB>nA \end{eqnarray*}$

由優多諸斯檢定法則，(11)式得證。

定理十二（長方形的面積公式）

如果長方形的長與寬分別為 a 與 b，則其面積為 $a \cdot b$ 。

圖四十

證明：取一個長與寬都是 b 的正方形 B，由上面的補題知：

$\begin{displaymath} \frac{A}{B}=\frac{a}{b} \end{displaymath}$

再由比例的性質知：

$\begin{displaymath} \frac{a}{b}=\frac{a \cdot b}{b^2} \end{displaymath}$

已知 B 的面積為 b²，故得知 A 的面積為 $a \cdot b$ 。

從而，我們熟知的三角形、平行四邊形、梯形等等的面積公式以及畢氏定理都得到了證明。

窮盡法

關於窮盡法，我們舉一個例子來說明就夠了。

定理十三：兩個圓的面積之比等於半徑平方之比。

如圖四十一，設兩圓 O₁、O₂ 的半徑分別為 r₁、r₂，面積為 a(O₁)、a(O₂)，則

$\begin{displaymath} \frac{a(O_1)}{a(O_2)}=\frac{r_1^2}{r_2^2} \eqno{(12)} \end{displaymath}$

圖四十一

這個定理直觀論證起來很容易（以現代觀點），分成三個步驟如下：

(i) 兩個相似三角形面積之比，等於邊長平方之比。

(ii) 兩個相似多邊形，可以分割成同樣多個的相似三角形。

利用(i)及合比定理可知：兩個相似多邊形面積之比等於對應邊平方之比。特別地，對於兩個相似正多邊形也成立。

(iii)圓可以看作是內接正多邊形的「極限」，或無窮多邊且每邊是無窮小的內接正多邊形。因此，兩圓面積之比等於半徑平方之比。

對於古希臘人來說，(i)與(ii)的證明是容易的，但(iii)卻是一大困難，主要是缺少實數的理論與極限論證法。

定理十三：設 $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 相似，則

圖四十二

證明：過 A 點作 AC 垂直於 BC，過 D 點作 DH 垂直於 EF，則 $\triangle ABG \sim \triangle DEH$ ，所以

$\begin{displaymath} \frac{AG}{DH}=\frac{AB}{DE} \end{displaymath}$

又由假設 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ，故

$\begin{displaymath} \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF} \end{displaymath}$

於是由等量代換知

$\begin{displaymath} \frac{AG}{DH}=\frac{BC}{EF} \end{displaymath}$

因為 $\triangle ABC =\frac{1}{2} AG \cdot BC$ ，且 $\triangle DEP= \frac{1}{2}DH \cdot EF$ ，所以

$\begin{displaymath} \frac{\triangle ABC}{\triangle DEF}=\frac{AG \cdot BC}{DH \cdot EF} =\frac{BC \cdot BC}{EF \cdot EF}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2} \end{displaymath}$

定理十四：兩個相似多邊形面積之比，等於對應邊平方之比。

所謂窮盡法的原理是指：假設 M₀ 與 ε 為任意給定的兩個幾何量（如長度、面積或體積等等，因此它們皆為正的量，我們想像 M₀ 很大，ε 很小）。從 M₀ 減掉大於等於形 $\frac{1}{2}M_0$ 的量，剩下 M₁；再從 M₁ 減掉大於等於 $\frac{1}{2}M_1$ 的量，剩下 M₂；仿此不斷地作下去，得到數列 M₁, M₂, M₃ ……，那麼就存在某個自然數 n，使得 $M_n < \varepsilon$ 。

事實上，這就是愚公堅信可以將一座山挖光所根據的理由。我們也注意到，只要每次將 M_k 減掉 $(\frac{1}{\alpha})M_k$ （其中 $\alpha \geq 1$ ），則窮盡法原理的結論仍然成立。

由於 ε 是任意給定的正數，故我們說 M₀ 可逐步被窮盡(exhausted)。古人說：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」但是，一尺之棰終究要被窮盡。

補題：設 O 為一個圓，並 ε 為任意給定的正數，則存在一個正多邊形 P，內接於圓 O，使得

$\begin{displaymath} a(O)-a(P)< \varepsilon \end{displaymath}$

利用這個補題就可以證明定理十三了。因為

$\begin{displaymath} \frac{a(O)_1}{a(O)_2} > \frac{r_1^2}{r_2^2} \mbox{{\fontfami... ...ectfont \char 67}} \frac{a(O)_1}{a(O)_2} < \frac{r_1^2}{r_2^2} \end{displaymath}$

兩者皆會導致矛盾（兩次歸謬法），所以(12)式成立。詳細證明我們省略，請見參考資料16。

推論：令 $\frac{a(O_1)}{r_1^2} = \frac{a(O_2)}{r_2^2} = \pi$ ，則半徑為 r 的圓，其面積公式為

$\begin{displaymath} A= \pi r^2 \eqno{(14)} \end{displaymath}$

在上述論證中，古希臘人直觀地假設圓的面積存在。按理說，應該先定義什麼是曲線所圍的面積，然後證明圓的面積存在，最後再推導出它的各種公式。

然而，這樣的論證法以及優多諸斯檢定法則與窮盡法，在本質上都涉及現代的「實數論」與「極限論」。由於古希臘人對無窮的恐懼，沒有能力真正定義出實數及其運算，也無法用動態的極限論證法來落實無窮步驟的飛躍。因此，他們採用靜態的優多諸斯檢定法則與窮盡法，再配合兩次歸謬法來克服「不可共度」（無理數）的困難。

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002