從畢氏學派到歐氏幾何的誕生 （第 2 頁）
蔡聰明
．原載於科學月刊第二十六卷第二期∼第七期
．作者當時任教於台大數學系
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從畢氏學派到歐氏幾何的誕生 （第 2 頁） 蔡聰明
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．原載於科學月刊第二十六卷第二期∼第七期 ．作者當時任教於台大數學系 •註釋 •對外搜尋關鍵字 |
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一般而言，一門學問的發展都是先從累積直觀的、實用的、經驗的知識開始，儲存豐富了之後，才進一步地組織成比較嚴謹的知識系統。這是因為經驗知識難免會有錯誤、含混、甚至矛盾，所以需要加以整理，去蕪存菁。德國哲學家康德（I. Kant, 1724∼1804）說的好：
所有的人類知識起源於直觀經驗 (intuitions)，再發展出概念 (concepts)，最後止於理念 (ideas)。 最令人驚奇的是，古希臘人將古埃及與巴比倫長期累積下來的經驗幾何知識，用邏輯錘煉成演繹系統，由一些基本原理（公理）推導出所有的結論（定理）。從「實用」，轉變成「論理」之完全「質變」，這就是歷史上所稱的「希臘奇蹟」(the Greek miracle) 之一。 古希臘人將數學提升到可以「證明」並且要講究「證明」的境界，使得數學變成最嚴密可靠的知識，而有別於其他學問。這是數學的魅力之一。英國邏輯家羅素（B. Russell, 1872∼1970）說「數學最讓我欣喜的是，事物可以被證明。」(What delighted me most about mathematics was t hat things could be proved.) 古希臘人從編造神話故事來解釋世事（神話詩觀），進展到亞里斯多德 (Aristotle) 的有機目的觀：一切事物都趨向其目的地而運動。在數學中，更進步到歐氏幾何的公理化體系，利用直觀自明的公理來解釋所有觀測到的經驗幾何知識。這是知識的鞏固，也是進一步發展的基礎。
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幾何學起源於測地、航海、天文學，以及日常生活的測積（長度、面積、容積）與舖地板等等。換言之，大自然與生活是幾何學乃至是數學的發源地。
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幾何觀念的來源
根據希臘歷史學家希羅多德（Herodotus, 約西元前485∼425年）的說法，幾何學開始於「測地」。古埃及的尼羅河每年氾濫，湮沒田地，因此需要重新測量土地。幾何學「Geometry」一詞就是由「Geometrein」演變而來的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指測量。測量土地的技術員 叫做操繩師 (rope-stretchers)，因為繩子是用來幫忙測量的工具。原子論大師德謨克瑞塔斯（Democritus, 西元前460∼370年）曾提到，當時的操繩師具有精湛的測量技術與豐富的幾何知識，幾乎快要跟他一樣好。德謨克瑞塔斯自誇道：「在建構平面圖形與證明方面，沒有人能超過我，� ⑥頇O埃及的操繩師也不例外。」 幾何觀念的第二個來源是航海與天文學。哲學家康德說：
有兩樣事物充滿著我的心，並且產生永不止息的敬畏。那就是：在頭上燦爛的星空，以及心中的道德法則。 人類長久以來對星空的觀察，除了敬畏與訂曆法之外，還從中抽取出點、線、三角形、多邊形、圓、方向、角度、距離……等幾何概念，以及三角形的測量。更重要的是，從行星井然有序與周而復始的運行中，產生了規律感與美感 (the sense of orders and beauty)，這是科學發展的必要 條件。數學家兼哲學家懷海德（Whitehead, 1861∼1947）說得好：
活生生的科學是不可能產生的。除非人們具有普遍而本能地深信：事物存在有規律；或特別地，大自然存在有規律。
科學追尋大自然的內在秩序與規律。同理，幾何追求幾何圖形的內在秩序與規律。它們最早都是從天文學得到啟示。天文學是數學的故鄉與發源地。畢氏學派將幾何學、天文學、算術與音樂並列為四藝，是有遠見的（中世紀時，再加上文法、修辭與辯證 (Dialectic)，合稱七藝）。 幾何學的第三個來源是日常生活的測積。由此引出了長度、面積、容積、體積、表面積、重心等概念，也歸結出一些計算公式。 這些直觀的、實驗的、經驗的幾何概念與知識，世界上各古老民族都出現過，並不限於古埃及與巴比倫。除了實用之外，更要緊的是，人們從中看出（或發現）了幾何圖形的一些規律。我們僅擇幾個重要的介紹，分別於各小段說明。
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舖地板只有三種樣式
根據普羅克拉斯（Proclus, 410∼485）的說法，畢氏學派已經知道，用同樣大小且同一種的正多邊形舖地板時，只能用正三角形、正方形與正六邊形，得到三種圖案（見圖一∼圖三）。讀者可以用勞作剪紙片或積木遊戲加以證實。然而，數學史家阿爾曼 (Allman) 卻認為，古埃及人習價用 這三種正多邊形來舖地板，並且從長期的生活經驗中，觀察而發現「畢氏定理」與三角形三內角和定理。
如果各種不同的正多邊形（邊長都相等）可以混合使用，並且要舖成對稱的圖案，則可得到 13 種樣式，這是一個很好的思考論題。
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三角形三內角和定理
古埃及人又從舖地板中，發現三角形三內角和為一平角（即180度）。在圖一中，繞一頂點的六個角，合起來一共是一周角（即360度），因此正三角形三內角和為一平角。這雖只是特例，但卻是進一步發現真理的契機。在圖二中，繞一頂點的四個直角，合起來一共是一周角，因此正方形四� 茪漕予M為一周角」。作正方形的對角線，得到兩個相同的等腰直角三角形，從而得知等腰直角三角形三內角和為一平角。將正方形改為長方形，前述論證也成立，因此任何三角形都可以分割成兩個直角三角形（作一邊的高），所以任意三角形三內角和為一平角。 這個結果美得像物理學的一條守恆定律 (conservation law)，令人激賞。奇妙的是，它也可以用剪刀勞作看出來：將三角形的三個角剪開來（見圖四），再將三個角排在一起，就得到一個平角（見圖五），著名的偉大科學家巴斯卡（Pascal, 1623∼1662）小時候就是如此這般重新發現這個 定理。
我們也可以利用摺紙的實驗，發現這個定理（見圖六）。即沿著 DE、DG、EF 把三角形摺成長方形 DEFG，那麼
利用旋轉鉛筆的實驗，也可看出這個定理（見圖七）。
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這是關於直角三角形三邊規律的定理：對於「任意」的直角三角形都有 c2 = a2 + b2（見圖八）。
古埃及人仍然是從舖地板中看出其端倪。在圖九中，直角三角形 ABC 斜邊 AB 上的正方形面積，等於兩股上正方形面積之和。這是畢氏定理的一個特例。
我們可以利用幾何板 (geoboard)，玩出更多畢氏定理的特例。圖十與圖十一就是兩個例子。
另一方面，巴比倫人與中國人都觀察到一個木匠法則。即木匠在決定垂直、直角及邊長時，發現邊長為 3, 4, 5 的三角形，三邊具有 32 + 42 = 52 的關係並且為直角三角形（畢氏逆定理之特例）。 這些線索好像是礦苗，人們很快就發現了畢氏定理之「金礦」。這只需用剪刀勞作（夠直觀經驗吧！）就可以看出來。在圖十二中，以邊長 a+b 作兩個正方形；左圖剪掉四個直角三角形，剩下兩個小正方形，面積之和為 a2 + b2；右圖從四個角剪掉四個直角三角形，剩下一個小正方形之面積為 c2；等量減去等量，其差相等。因此 a2 + b2 = c2。
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相似三角形基本定理
如果兩個三角形的三內角分別對應相等，則對應邊成比例。亦即，在圖十三中，若
這個結果是直觀顯明的。因為兩個三角形三內角分別對應相等，表示它們之間有一個是另一個的放大或縮小，所以它們的大小不同但是形狀相同，叫做相似。從而對應邊成比例，比值就是放大率或縮小率。我們注意到：三角形在作放大或縮小時，只有角度是不變的。 根據歷史記載，泰利斯（Thales, 西元前640？∼546）當年遊學古埃及時，就曾利用這個定理推算出金字塔的高度。另外，他也推算出海面上的船隻到岸邊的距離。
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柏拉圖五種正多面體
正多邊形有無窮多種，但是正多面體不多也不少恰好有五種。這是很美妙的結果。小孩子玩「積木片」（例如市面上流行的百力智慧片）的拼湊遊戲就可以做出來，是真正可以看得見、摸得到的。在圖十四中，總共有正四面體 (tetrahedron)，正六面體 (cube)、正八面體 (octahedron)、� 縣Q二面體 (dodecahedron) 以及正二十面體 (icosahedron)。 根據數學史家奚斯（Heath, 1861∼1940）的看法，畢氏學派可能已知這五種正多面體。數學家魏爾（H. Weyl, 1885∼1955）認為正多面體的發現，在數學史上是獨一無二的精品，是最令人驚奇的事物之一。柏拉圖拿它們來建構他的宇宙論，從正四面體到正二十面體分別代表火 (fire)、土 (earth)、氣 (air)、宇宙 (universe) 與水 (water)。
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| 編輯：朱安強 ／ 繪圖：簡立欣 | 最後修改日期：2/17/2002 |
