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從畢氏學派到歐氏幾何的誕生 (第 2 頁)

蔡聰明

 


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.原載於科學月刊第二十六卷第二期∼第七期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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一、

   
 
經驗與邏輯

物理學家愛因斯坦認為,西方文明對人類的兩大貢獻是:

1. 古希臘哲學家發明的演繹系統,即採用邏輯推理來組織知識的方法:先追尋出基本原理,再論證並推導出各種結論,總結歐氏幾何。

2. 文藝復興時代(十五、六世紀)發展出來的實證傳統 (positivistic tradition),即透過有目的與有系統的實驗觀察,以找尋真理與檢驗真理的態度。

愛因斯坦「直指本心」地點明出:經驗與邏輯是西方文明的骨幹,它們是建立科學與數學的兩塊基石,缺一不可。知識在「眼見」(經驗)加上「論證」(邏輯)的雙重錘煉下,才變成真確可信。這是其他民族所欠缺或沒有奠下的基礎。

經驗與邏輯是科學的兩隻眼睛,它們在十七世紀緊密結合起來,透過刻卜勒、伽利略與牛頓等人的偉大工作,終於產生了近代的科學文明。

   
 
希臘奇蹟

一般而言,一門學問的發展都是先從累積直觀的、實用的、經驗的知識開始,儲存豐富了之後,才進一步地組織成比較嚴謹的知識系統。這是因為經驗知識難免會有錯誤、含混、甚至矛盾,所以需要加以整理,去蕪存菁。德國哲學家康德(I. Kant, 1724∼1804)說的好:

所有的人類知識起源於直觀經驗 (intuitions),再發展出概念 (concepts),最後止於理念 (ideas)。

最令人驚奇的是,古希臘人將古埃及與巴比倫長期累積下來的經驗幾何知識,用邏輯錘煉成演繹系統,由一些基本原理(公理)推導出所有的結論(定理)。從「實用」,轉變成「論理」之完全「質變」,這就是歷史上所稱的「希臘奇蹟」(the Greek miracle) 之一。

古希臘人將數學提升到可以「證明」並且要講究「證明」的境界,使得數學變成最嚴密可靠的知識,而有別於其他學問。這是數學的魅力之一。英國邏輯家羅素(B. Russell, 1872∼1970)說「數學最讓我欣喜的是,事物可以被證明。」(What delighted me most about mathematics was t hat things could be proved.)

古希臘人從編造神話故事來解釋世事(神話詩觀),進展到亞里斯多德 (Aristotle) 的有機目的觀:一切事物都趨向其目的地而運動。在數學中,更進步到歐氏幾何的公理化體系,利用直觀自明的公理來解釋所有觀測到的經驗幾何知識。這是知識的鞏固,也是進一步發展的基礎。

   
 
直觀經驗幾何

幾何學起源於測地、航海、天文學,以及日常生活的測積(長度、面積、容積)與舖地板等等。換言之,大自然與生活是幾何學乃至是數學的發源地。

   
 
幾何觀念的來源

根據希臘歷史學家希羅多德(Herodotus, 約西元前485∼425年)的說法,幾何學開始於「測地」。古埃及的尼羅河每年氾濫,湮沒田地,因此需要重新測量土地。幾何學「Geometry」一詞就是由「Geometrein」演變而來的,其中「geo」是指土地,「metrein」是指測量。測量土地的技術員 叫做操繩師 (rope-stretchers),因為繩子是用來幫忙測量的工具。原子論大師德謨克瑞塔斯(Democritus, 西元前460∼370年)曾提到,當時的操繩師具有精湛的測量技術與豐富的幾何知識,幾乎快要跟他一樣好。德謨克瑞塔斯自誇道:「在建構平面圖形與證明方面,沒有人能超過我, あ頇O埃及的操繩師也不例外。」

幾何觀念的第二個來源是航海與天文學。哲學家康德說:

有兩樣事物充滿著我的心,並且產生永不止息的敬畏。那就是:在頭上燦爛的星空,以及心中的道德法則。

人類長久以來對星空的觀察,除了敬畏與訂曆法之外,還從中抽取出點、線、三角形、多邊形、圓、方向、角度、距離……等幾何概念,以及三角形的測量。更重要的是,從行星井然有序與周而復始的運行中,產生了規律感與美感 (the sense of orders and beauty),這是科學發展的必要 條件。數學家兼哲學家懷海德(Whitehead, 1861∼1947)說得好:

活生生的科學是不可能產生的。除非人們具有普遍而本能地深信:事物存在有規律;或特別地,大自然存在有規律。

科學追尋大自然的內在秩序與規律。同理,幾何追求幾何圖形的內在秩序與規律。它們最早都是從天文學得到啟示。天文學是數學的故鄉與發源地。畢氏學派將幾何學、天文學、算術與音樂並列為四藝,是有遠見的(中世紀時,再加上文法、修辭與辯證 (Dialectic),合稱七藝)。

幾何學的第三個來源是日常生活的測積。由此引出了長度、面積、容積、體積、表面積、重心等概念,也歸結出一些計算公式。

這些直觀的、實驗的、經驗的幾何概念與知識,世界上各古老民族都出現過,並不限於古埃及與巴比倫。除了實用之外,更要緊的是,人們從中看出(或發現)了幾何圖形的一些規律。我們僅擇幾個重要的介紹,分別於各小段說明。

   
 
舖地板只有三種樣式

根據普羅克拉斯(Proclus, 410∼485)的說法,畢氏學派已經知道,用同樣大小且同一種的正多邊形舖地板時,只能用正三角形、正方形與正六邊形,得到三種圖案(見圖一∼圖三)。讀者可以用勞作剪紙片或積木遊戲加以證實。然而,數學史家阿爾曼 (Allman) 卻認為,古埃及人習價用 這三種正多邊形來舖地板,並且從長期的生活經驗中,觀察而發現「畢氏定理」與三角形三內角和定理。



圖一



圖二



圖三

如果各種不同的正多邊形(邊長都相等)可以混合使用,並且要舖成對稱的圖案,則可得到 13 種樣式,這是一個很好的思考論題。

   
 
三角形三內角和定理

古埃及人又從舖地板中,發現三角形三內角和為一平角(即180度)。在圖一中,繞一頂點的六個角,合起來一共是一周角(即360度),因此正三角形三內角和為一平角。這雖只是特例,但卻是進一步發現真理的契機。在圖二中,繞一頂點的四個直角,合起來一共是一周角,因此正方形四 茪漕予M為一周角」。作正方形的對角線,得到兩個相同的等腰直角三角形,從而得知等腰直角三角形三內角和為一平角。將正方形改為長方形,前述論證也成立,因此任何三角形都可以分割成兩個直角三角形(作一邊的高),所以任意三角形三內角和為一平角。

這個結果美得像物理學的一條守恆定律 (conservation law),令人激賞。奇妙的是,它也可以用剪刀勞作看出來:將三角形的三個角剪開來(見圖四),再將三個角排在一起,就得到一個平角(見圖五),著名的偉大科學家巴斯卡(Pascal, 1623∼1662)小時候就是如此這般重新發現這個 定理。



圖四



圖五



圖六

我們也可以利用摺紙的實驗,發現這個定理(見圖六)。即沿著 DEDGEF 把三角形摺成長方形 DEFG,那麼 $\angle A, \angle B, \angle C$ 疊合於 A' 點,成為一平角。

利用旋轉鉛筆的實驗,也可看出這個定理(見圖七)。



圖七

   
 
畢氏定理

這是關於直角三角形三邊規律的定理:對於「任意」的直角三角形都有 c2 = a2 + b2(見圖八)。



圖八

古埃及人仍然是從舖地板中看出其端倪。在圖九中,直角三角形 ABC 斜邊 AB 上的正方形面積,等於兩股上正方形面積之和。這是畢氏定理的一個特例。



圖九

我們可以利用幾何板 (geoboard),玩出更多畢氏定理的特例。圖十與圖十一就是兩個例子。



圖十



圖十一

另一方面,巴比倫人與中國人都觀察到一個木匠法則。即木匠在決定垂直、直角及邊長時,發現邊長為 3, 4, 5 的三角形,三邊具有 32 + 42 = 52 的關係並且為直角三角形(畢氏逆定理之特例)。

這些線索好像是礦苗,人們很快就發現了畢氏定理之「金礦」。這只需用剪刀勞作(夠直觀經驗吧!)就可以看出來。在圖十二中,以邊長 a+b 作兩個正方形;左圖剪掉四個直角三角形,剩下兩個小正方形,面積之和為 a2 + b2;右圖從四個角剪掉四個直角三角形,剩下一個小正方形之面積為 c2;等量減去等量,其差相等。因此 a2 + b2 = c2



圖十二

   
 
相似三角形基本定理

如果兩個三角形的三內角分別對應相等,則對應邊成比例。亦即,在圖十三中,若 $\angle A = \angle A'$$\angle B = \angle B'$$\angle C = \angle C'$,則

\begin{displaymath}
\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}
\end{displaymath}

這個結果是直觀顯明的。因為兩個三角形三內角分別對應相等,表示它們之間有一個是另一個的放大或縮小,所以它們的大小不同但是形狀相同,叫做相似。從而對應邊成比例,比值就是放大率或縮小率。我們注意到:三角形在作放大或縮小時,只有角度是不變的。

根據歷史記載,泰利斯(Thales, 西元前640?∼546)當年遊學古埃及時,就曾利用這個定理推算出金字塔的高度。另外,他也推算出海面上的船隻到岸邊的距離。

   
 
柏拉圖五種正多面體

正多邊形有無窮多種,但是正多面體不多也不少恰好有五種。這是很美妙的結果。小孩子玩「積木片」(例如市面上流行的百力智慧片)的拼湊遊戲就可以做出來,是真正可以看得見、摸得到的。在圖十四中,總共有正四面體 (tetrahedron),正六面體 (cube)、正八面體 (octahedron)、 縣Q二面體 (dodecahedron) 以及正二十面體 (icosahedron)。

根據數學史家奚斯(Heath, 1861∼1940)的看法,畢氏學派可能已知這五種正多面體。數學家魏爾(H. Weyl, 1885∼1955)認為正多面體的發現,在數學史上是獨一無二的精品,是最令人驚奇的事物之一。柏拉圖拿它們來建構他的宇宙論,從正四面體到正二十面體分別代表火 (fire)、土 (earth)、氣 (air)、宇宙 (universe) 與水 (water)。



圖十三



圖十四

   

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編輯:朱安強 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002