趙文敏

認識蚶線 蚶線的極坐標方程式 蚶線是一垂足曲線 蚶線是外次擺線 蚶線是圓的包絡線 三等分角曲線 蚶線所圍的面積

由於利用尺規作圖不能將任意角三等分，數學家曾考慮以曲線來協助解決這問題，一種特殊的蚶線正有這項功能。

認識蚶線

給定一個圓 O 及其圓周上一個定點 A， 另給定一個正數 k。 設過A點的任意直線與給定圓O交於於另一點 M, 直線 AM 上恰有兩個點 P 與 P' 滿足 ， 所有此種 P 與 P' 點所成的圖形，稱為圓 O 為基圓、A 點為基點、 k 為常數的蚶線 (limacon)。

Limacon一字原為法文，其意為蝸牛。Limacon de mer 之意為海扇，乃是一種可食用的貝類。曲線 limacon 譯為蚶線，可能是採用後者。 最先使用 limacon 來稱呼上述曲線的是 Roberval，它將上述曲線稱為 limacon de monsieur Pascal，因為此曲線正是巴斯卡所發現的。 此處所指的 Pascal 引並不是「巴斯卡三角形」一詞所指的 Blaise Pascal， 而是指他的父親 Etienne Pasal。

蚶線的形狀，隨著 k 與基圓之半徑的大小關係而有所不同。 例如:設基圓的半徑為 a 若 k>2a，則當 M 點在基圓上時， 滿足 的點 P 與 P' 必都在基圓的外部。換句話說，在 k>2a的情形中， 蚶線上的點全都在其基圓的外部，而且蚶線沒有通過它的基點 A。

圖一：k>2a 與 k=2a 兩種圖形的蚶線及其基圓。

在 k<2a 的情形中，蚶線就不是此種形狀了。首先，因為 k<2a，所以， 我們可以在基圓上找到兩個點 M₁ 與 M₂， 使得 。 於是，蚶線與直線 AM₁（或直線 AM₂）的兩個交點中， 有一個交點就是 A 點， 這表示基點 A 在蚶線上。 另一方面，因為 k<2a，所以， 若點 M 在基圓上且 A、M 被 M₁、M₂ 隔開， 則 。 於是，在 而上必有一點 P 滿足 ， 此 P 點在蚶線上而也在基圓的內部。 由此可知：在 k<2a 的情形中， 蚶線不僅通過基點 A 也通過基圓的內部。

當 k=2a 時， 情形又如何呢？若 k=2 時，則所得的蚶線其實是以圓 O 為基圓、點 A 為歧點的心臟線。所以，此時的蚶線只通過基點 A 卻沒有通過基圓的內部（參見本刊二十一卷五期 (心臟線）一文。