蚶線 (第 2 頁)

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蚶線（第 2 頁）

趙文敏

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．作者當時任教於師大數學系
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蚶線的極坐標方程式

在圖一中，選擇 A 點為極點、射線 $\overrightarrow{AO}$ 為極軸建立一個極坐標系。如此，若基圓 O 的半徑為 a，則基圓的極坐標方程式為 $r=2a\cos \theta$ 。設過基點 A 的任意直線與基圓 O 交於另一點 M ( $2a\cos\theta$ ,θ)，其中， $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 。P 與 P' 兩點在直線 AM 上， $\overline{MP} = \overline{MP'} =k$ ，而且 P 與 A 在 M 的異側，P' 與 A 在 M 的同側，則 P 的極坐標為 ( $2a\cos\theta+k$ ,θ)，而 P' 點的極坐標為 ( $k-2a\cos\theta$ , $\pi+\theta$ )。由此可知：所有 P 點所成圖形的方程式為

$\begin{displaymath} r = 2a \cos\theta +k, \quad -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2} \end{displaymath}$

另一方面，因為 $k- 2a\cos\theta = k+ 2a\cos(\theta+\pi)$ ，而且當 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 時，可得 $\frac{\pi}{2} \leq \pi+\theta \leq \frac{3\pi}{2}$ ，以 P' 點所成圖形的方程式為

$\begin{displaymath} r=2a\cos\theta+k,\quad \frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{3\pi}{2} \end{displaymath}$

於是，所有 P 點與 P' 點所成的圖形的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a\cos\theta+k,\quad -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{3\pi}{2} \end{displaymath}$

因為 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$ 已表示餘弦函數的一個週期，所以，我們可將它改為 $0 \leq \theta \leq \frac{2\pi}{2}$ )。由此可知：以 $r=2a\cos \theta$ 為基圓、極點為基點、k 為常數的蚶線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a\cos\theta + k,\quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi \end{displaymath}$

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編輯：康明軒

最後修改日期：4/29/2002