心臟線是蚶線的一種特殊情形， 而心臟線是一外擺線， 外擺線又是外次擺線 (epitrochoid) 的特殊情形， 我們很自然會將蚶線與外次擺線聯想在一起。

在圖三中，設 P 點是以圓 O 為基圓、點 A 為基點、k 為常數的蚶線上一點， 直線 AP 與基圓交於另一點 W。 選取 I 點使得 PMOI 是一個平行四邊形， 請注意:對每個 P 點而言，點 I 是唯一的。 分別以點 O 與點 I 為圓心、 為半徑作兩圓， 前者稱為固定圓、後者稱為滾動圓。因為 ，所以，固定圓與滾動圓外切， 設切點為 Q。設射線 與固定圓交於 U 且 A 與 U 在 O 的異側、射線 與滾動圓交於 V 且 P 與 V 在 I 的異側， 則可得 。 因為固定圓與滾動圓的半徑相等， 而固定圓的圓心角 與滾動圓的圓心角 相等， 所以，固定圓上弧 QU 的長與滾動圓上弧 QV 的長相等。 這樣的現象表示什麼意義呢？我們說明如下。

取一個半徑為 的固定圓， 另取一個大小與固定圓相同的滾動圓， 讓滾動圓沿著固定圓的外部作沒有滑動的滾動， 此外,還選定一個與滾動圓圓心距離為 a的定點， 在滾動前，定點與固定圓圓心O的距離為 a+k。 亦即:定點、固定圓圓心、滾動圓圓心等三點共線， 且滾動圓圓心介於其他兩點之間。圖三表示: 當滾動圓滾動到與固定圓相切於Q點時， 滾動圓旁的定點就到達P點。 由此可知：所謂蚶線，乃是當滾動圓與固定圓的半徑相等時， 滾動圓旁的定點所描繪的曲線，這乃是一外次擺線。

若在圖三中建立一個直角坐標系，使O點為原點、 直線 AB 為 X 軸，則可得蚶線的參數方程式如下： 設以 為始邊、 為終邊的有向角 t 弧度， 則以 為始邊、 為終邊的有向角為 2t 弧度。 又設 P 點的坐標為 (x,y)，則得

習題:

試討論前述蚶線的極坐標方程式與參數方程式的關係。

圖三