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初探「重差」的內在理路 (第 3 頁)

李國偉

 

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.原載於科學月刊第十六卷第二期
.作者當時任職於中央研究院數學所

註釋
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由單表到雙表

在認識劉徽「重差」之前,我們先觀察一個古老而受中國算家重視的問題,就是太陽的高遠問題。 《周髀算經》中說:「從髀至日下六萬里,而髀無影。從此以上至日則八萬里。若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘而開方除之,得邪至日從髀所旁至日所十萬里。」也就是如圖一所示的情形。



圖一

這個推算的正確性須倚賴兩項假設:一、地平可沿視平而任意延長 註6 。 二、「勾之損益,寸千里」即表尺南北移動一千里,日影長度增減一寸。就古代的知識水平而言,第一項假設幾乎是不能不接受的。但是第二條假設,卻是一項經驗性敘述,應該是可以實地檢驗的,因此它出錯的機會也較大。日遠的計算如果必須倚靠第二條假設,頗難令人滿意。但是請看圖二



圖二

利用相似直角三角形的性質,可知 $\triangle ABE$ 相似於 $\triangle STE$$\triangle CDF$ 相似於 $\triangle STF$,從而有 $\frac{AB}{BE} = \frac{ST}{TB+BE}$$\frac{CD}{DF} = \frac{ST}{TB+BD+DF}$。如果令 AB=CD, 則有 $\frac{BE}{DF} = \frac{TB+BE}{TB+BD+DF}$,即 $TB = \frac{BE \cdot BD}{DF-BE}$, 將此值代入 $ST = \frac{AB}{BE} (TB+BE)$,可得 $ST = \frac{AB \cdot BD}{DF-BE} + AB$。 因此我們只要利用等高的兩個表尺 ABCD,便可用日影的差 DF-BE 求出 TBST。 因而經驗性的第二條假設得以省去,使得計算日遠日高的理論基礎更形穩固。 因此劉徽說「必以重差為率」,應該是指重表景差為度量準則的意思 註7 。 而劉徽緊接著解釋說:「故曰重差也,立兩表於洛陽之城,令高八尺,南北各盡平地, 同日度其正中之影,以景差為法,表高乘表間為實,實如法而一,所得加表高, 即日去地也。以南表之景,乘表間為實,實如法而一,即為從南表至南戴日下也。」 請參閱圖二,如果 S 為太陽,所謂景差即 DF-BE,為法者為除數也,表高乘表間即 $AB \cdot BD$, 為實者為被除數也,因此劉徽的算法是完全正確的。而且雖然他援用了《周髀算經》中「周髀長八尺」之說, 但是他的興趣其實並不在真正日遠多少,他沒有舉出實測的值,他只是引用一個古典的題型,來展現自己的方法。也因此他的九條題目堙A雖然有「孤離者三望,離而又旁求者四望」,並不只限於兩對相似直角三角形的關係,但是此理路之「端」仍在重表景差為率之上,因此總稱為「重差」 註8

   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002