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微積分史話 (第 4 頁)

曹亮吉

 


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.原載於科學月刊
.作者當時任教於台大數學系
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3. 無窮小與求積

阿基米德之後,後繼無人,直到文藝復興時代,古希臘之學逐漸受西方重視,科學漸興,求積問題才引起很多人的探討。

為了求得更多的面(體)積,大家放鬆對嚴謹的要求,幾乎捨棄了阿基米德步步為營的精神。這之中經得起考驗而日後成為積分學主要思潮的有兩種方法,其一就是把面(體)積看成由無窮線條(薄片)所組成的無窮小方法;另外一個是經過改良的窮盡法──動態窮盡法。第一種方法訴諸直觀,雖然論證欠缺嚴謹,卻予積分學的發展很大的動力;第二種則論證較嚴謹,終於使求積方法有了深厚的數學基礎。

在這一節堙A我們光看無窮小與求積的關係。

   
 
無窮小

無窮小的觀念起源很早,到文藝復興以後,用它求積的人很多,且看法、求法各有千秋,我們只能舉幾位代表性人物,如刻卜勒(J. Kepler, 1571∼1630)、伽利略(Galileo Galilei, 1564∼1642)及卡法里約利(B. Cavalieri, 1598∼1647)等人。

刻卜勒認為圓是個無窮邊正多邊形,所以圓面積等於無窮個無窮小三角形的面積和。每一三角形的高為圓的半徑,而其無窮小的底邊則在圓周上。因為每一三角形的面積為 $\frac{1}{2}$ ×半徑×底,所以這些三角形的面積和為 $\frac{1}{2}$ ×半徑×圓周。同理,他認為圓球是由無窮小的圓錐體所組成,每一圓錐體的頂點就是圓球的球心,高就是半徑,而底面積(無窮小)則在球面上,由此可推得圓球體積為 $\frac{1}{3}$ ×半徑×球面面積。除此之外,他還求得一些面積和旋轉體的體積。

   
 
距離與面積

伽利略在討論等加速運動時,用無窮小的論證法證明時─速曲線下的面積就是距離,這是求積的應用跨出純粹求積範圍的一大步。他的想法如下:設一物的運行速度 v 和時間 t 的關係為 v = 32t,則在 t-v 坐標中,該關係由一直線 OB 所表(見圖五)。在任一時刻 A' 的速度等於 A'B' 長,所以在此時刻所走的距離為 A'B' 長乘以「無窮小」的時刻,即「線條 A'B' 的面積」。當時間由 O 變到 A 時,線條 A'B' 也逐次由 O 變到 AB,所以總距離為諸線條 A'B'「面積」之和,也就是 $\triangle OAB$ 的面積。設 A 點的坐標為 t,則距離 = $\triangle OAB$ 的面積 = $\frac{1}{2} \times t \times 32t = 16t^2$



圖五

速度是距離的變化率,而將速度函數「求積」則回到距離函數,這種求積與變化率的互逆關係,就是所謂的微積分基本定理。當然,那時候時機還未成熟,伽利略沒辦法有這麼深刻的認識。

以嚴謹的眼光看無窮小方法,會發現它有種種的困難,譬如,什麼是無窮小?無窮個無窮小的和又是什麼意思?雖然很多人想辦法要把這些幾何觀念嚴密化,但一直沒有成功。直到最近經羅賓生(A. Robinson, 1918∼1974)等人的努力,無窮小的觀念才有了數學基礎。但要深入了解無窮小的數學,卻需要有些邏輯學的訓練,一般人是否能經由此途徑學得微積分,還有待時間的考驗。

無窮小方法雖然身分一直不明,但若謹慎使用,用處也很大,所以深受數學家的歡迎,譬如,卡法里約利就用無窮小的方法推算出很多面積。但是許多人對其不嚴密性深感不安,而另謀發展途徑,其中最有成就的是下一節要談的動態窮盡法。

   
 
卡氏原理

無窮小方法除了提供直觀看法外,還留下一條非常有用的卡氏原理 (Cavalieri Principle)。卡氏原理不但是直觀的產物,而且是可用現代微積分學證明的一個定理。我們先用一個例子來說明卡氏原理的大意。如圖六,設 $\triangle ABC$$\triangle DEF$ 等底等高,我們可用無窮小方法證明其面積相等:設 B'C'E'F' 為分別平行於 BCEF 的直線,且距底邊等高,則由比例可知 B'C'=E'F' 。既然 $\triangle ABC$$\triangle DEF$ 分別由相等的線條 B'C'E'F' 所組成,所以兩三角形應該有同樣的面積。



圖六

卡法里約利所提的原理可由下面兩段文字來表示。

一、如果兩立體具有同樣的高度,而且與底等高且平行於底面的截面積兩兩成固定的比值,則這兩個立體的體積比等於該固定的比值。

二、如果兩面積具有同樣的高度,而且與底等高且平行於底線的截線長兩兩成固定的比值,則這兩個面積的比等於該固定的比值。

可注意者,卡氏原理雖由直觀而得,但其內容卻不含任何曖昧字眼(如無窮小等);用現代的眼光來看,它是個定理。反覆利用這個原理。卡氏證明了圓錐體的體積為同底等高圓柱體體積的三分之一。

不但西方有卡氏原理,中國也有,而且要早千年之久。南北朝時的祖沖之,就一再巧用這個原理,不用現代微積分技巧,就求得球體體積的公式(請參考附錄一)。卡氏原理也應該叫做祖氏原理!

我們現在用這個原理來求橢圓的面積。

例: 若橢圓的方程式為 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ,則其面積為 $\pi ab $



圖七

證: 如圖七,以橢圓的短軸為半徑做圓,我們要用卡氏(祖氏)原理來比較橢圓和圓的面積。作任一直線平行於長軸而得橢圓的截線 LL' 及圓的截線 MM'。由坐標的計算知 $\frac{LL'}{MM'}=\frac{a}{b}$ ,為固定比值。所以由卡氏(祖氏)原理知

\begin{displaymath}
\frac{\mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \ch...
...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}}=\frac{a}{b} ,
\end{displaymath}

即橢圓面積 = $\frac{a}{b}$ 圓面積 = $\frac{a}{b} \pi b^2=\pi ab$

   
 
習題

  1. 用我們習知的公式,說明刻卜勒所得球體體積及球面面積間的關係是正確的。
  2. 設兩拋物線 y=2x-x2y=-2x2+12x-16x 軸所圍成的面積各為 AB,試用卡氏原理求 AB 之比。又,用§2的結果求 AB
  3. 把文中求橢圓面積的證明補足。
  4. 用卡氏原理求橢圓體 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的體積。
  5. 若已知金字塔的體積公式為 $\frac{1}{3}$×底面積×高,試求圓錐體的體積公式。
  6. 下面是一種求金字塔體積公式的方法:(1)將一正立方體等分成三份,每一份成斜金字塔形,其底為正立方體的一面,其高為正立方體的一邊。 (2)將一般的金字塔和這種特殊的斜金字塔相比。
  7. 將伽利略的論證推廣,說明任一時─速曲線(不一定直線,即不一定是等速運動)下的面積就是距離。
  8. 下面是一種求圓球體積的方法:考慮高及半徑各等於圓球半徑的圓柱體。考慮以該圓柱體頂面為底,圓柱體底面中心為頂點的圓錐體。將圓錐體從圓柱體中除去後所剩下的體積和半球體體積相比即得。

   

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編輯:楊佳芳 / 校對:楊佳芳 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:2/17/2002