微積分史話 (第 5 頁)

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微積分史話（第 5 頁）

曹亮吉

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．原載於科學月刊
．作者當時任教於台大數學系
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4. 動態窮盡法

為了了解動態窮盡法。我們再舉拋物線的例子。

例：求拋物線 y=x² 及兩直線 y=0、x=b 之間的面積。

由§2拋物線弓形面積可推得我們現在要求的面積等於 $\frac{1}{3} b^3$ 。但我們現在要用動態窮盡法做這個題目。

圖八

設 B 點的坐標為 (b,0)。將 OB 等分成 n 段，每段長 $\frac{b}{n}$ ，分段點的橫坐標各為 $\frac{b}{n}$ 、 $\frac{2b}{n}$ 、…、 $\frac{(n-1)b}{n}$ 。如圖八，在這些線段上、拋物線下作矩形。這些矩形的面積和為

$\begin{eqnarray*} S_n & = & \frac{b}{n}(\frac{b}{n})^2+\frac{b}{n}(\frac{2b}{n})... ... & = & \frac{b^3}{n^3}(1^2+2^2+ \cdots +k^2+ \cdots +(n-1)^2) , \end{eqnarray*}$

S_n 可以做為欲求面積 S 的一個近似值。如果 n 愈變愈大，則由直觀可知 S_n 愈來愈近於 S。所以我們讓 n 趨向於無窮大，看 S_n 能否趨近於一個定數。如果能，則此定數應該就是我們所要求的面積 S。

我們可以用數學歸納法證明

$\begin{displaymath} 1^2+2^2 + \cdots +k^2+ \cdots + (n-1)^2 = \frac{1}{6} (n-1)n(2n-1), \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} S_n = \frac{b^3}{6} \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} )b^3 \end{displaymath}$

如果 n 愈變愈大，則 $\frac{1}{2n}$ 、 $\frac{1}{6n^2}$ 這兩項愈變愈小，而 S_n 就愈來愈趨近於 $\frac{b^3}{3}$ ，所以 S 應該等於 $\frac{b^3}{3}$ 。用現代的符號來表示，則

$\begin{displaymath} S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{b^3}{3}, \end{displaymath}$

$n \rightarrow \infty$ 表示 n 愈變愈大的情況下， $\lim$ 表在此情況下取極限值 (limit)。

動態窮盡

很明顯地，上面這種計算面積的方法也是一種窮盡法，但它和§2中所談的窮盡法卻有些不同。§2的方法，在作第 n+1 階段逼近時，把第 n 階段所得的面積固定不動，再在空隙中填進一些小面積，合起來作為第 n+1 階段的逼近。現在的方法並不把第 n 階段的近似面積固定，而是重新用比較瘦小的矩形和作 n+1 階段的逼近。因為用作逼近的矩形隨時在變動，所以稱為動態窮盡法。這種方法有很多特色：

一、隨著 n 的增加，每個矩形愈變愈瘦，漸漸趨近於線條，而終於能把面積窮盡，直觀上和無窮小方法的看法相當接近。

二、每一階段的逼近有一定的規則可尋，不像傳統的窮盡法要利用所給曲線的特殊性質。

三、每一階段的逼近只用有限個矩形，其面積和理論上可以算得，不像無窮小方法不知道如何嚴格處理無窮個無窮小的和。

潛在的無窮法

窮盡法和無窮小方法最大的不同處，是前者每一階段都是我們能夠處理的有限項和，但我們又讓項數趨向於無窮大而取得極限值，所以它又能擔任無窮的角色，因此這種用極限的窮盡法是潛在的無窮法，而不是真正的無窮法。有了這些特色，動態窮盡法應用的範圍較廣，所得的結果也較令人信服。譬如 y=x^m（m 為正整數）、 $y=\sin x$ 、 $y=\cos x$ 等曲線下的面積就可以用這種方法求得。

困難與發展

動態窮盡法也有它的困難處：

一、每一階段的逼近面積不一定可以用簡單的式子表得出來。

二、縱使表得出來，當 n 趨向於無窮大時，其極限值為何有時候也不容易求得，尤其當時對極限的觀念、求法都還在摸索階段。

三、「隨著 n 的增加，所得的逼近面積是否愈來愈接近所要求的面積？」也就是問「逼近面積能否窮盡原面積？」這個問題也沒辦法用嚴密的方法證明（指當時而言）。

動態窮盡法可以說開始於史蒂芬（S. Stevin, 1546～1620）的工作。（一說阿基米德就用過，待考。）他在算一物體的重心時，就曾經用許多瘦長的平行四邊形來逼近三角形。（重心的計算也可以用積分的方法！）其後瓦略里奧（L. Valerio, 1552～1618）曾經提出：一面積如果由內逼近和由外逼近（譬如圓由內接正多邊形和外切正多邊形來逼近）的兩種逼近面積之差可以變得任意小（內外夾擊！），則內逼近或外逼近的面積都會窮盡原面積。這種看法在觀念上算是解決了動態窮盡法的第三項困難，其技巧上的困難連同第二項困難則有待極限觀念、技巧的澄清。（即，何謂窮盡？）這個工作直到十九世紀，經柯西（A. Cauchy, 1789～1857）、維爾思垂斯（K. Weierstrass, 1815～1897）等人的努力，才獲得完全的解決。

為解決第一項困難，大家試著用更具彈性的逼近法，即每一階段的逼近並不要求把橫軸等分，而且第 n 階段也不一定要分為 n 線段，只要每一分段長隨著 n 變大而變小，終於趨近於 0 就可以了；此外線段上矩形的高度不一定要在曲線下（內逼近）或在曲線上（外逼近），只要在兩者之間就可以了。主要的目的，就是利用所給曲線的特性而作適當的橫軸分段，作適當高度的矩形，使所得的逼近面積容易計算。這就更顯得「動態」兩字的意義！現在我們習用的積分就是由動態窮盡法演變而來的。

圖九

現在再回到拋物線下的面積，看它由內、外兩方逼近的情形。如圖九，由外逼近諸矩形的面積和為

$\begin{eqnarray*} T_n & = & \frac{b}{n} ( \frac{b}{n} )^2 + \frac{b}{n} ( \frac{... ...}{6} \\ &=& ( \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} )b^3 \end{eqnarray*}$

因外逼近 T_n 與內逼近 S_n 的差 T_n - S_n（ $= \frac{b^3}{n}$ ）可以變得任意小，所以根據瓦略里奧的原則，我們可以確定 S_n(T_n) 的極限值 $\frac{b^3}{3}$ 確實是 S 的面積。

若把等分橫軸的方法用到曲線 y=x³ 下的面積時，則第 n 階段的內逼近面積和為

$\begin{eqnarray*} & & \frac{b}{n} ( \frac{b}{n} )^3 + \frac{b}{n} ( \frac{2b}{n}... ...frac{b^4}{n^4} ( 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + \cdots + (n-1)^3 ) . \end{eqnarray*}$

要把 $1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3$ 的公式求出來可要花很大的工夫。縱使想辦法把它解決了，當遇到 y=x⁴ 時又得算 $1^4 + 2^4 + \cdots + (n-1)^4$ ；y=x⁵ 時，則要算……。

這樣逐題解決絕不是辦法。那麼有沒有「通吃」的辦法把曲線 y=x^m（m 為正整數）下的面積問題一舉解決呢？有的，至少有兩種辦法，一種是不算 $1^m + 2^m + \cdots + (n-1)^m$ 而直接算 $\frac{1^m + 2^m + \cdots + (n-1)^m}{n^{m+1}}$ 的極限值，另外一種就是費瑪（Fermat, 1601～1665）所巧用的橫軸分割法，他一舉就求得逼近面積的公式。

例：求曲線 y=x^m（m 為正整數）下的面積。

圖十

解：固定 0 與 1 之間的一個數 c（見圖十），費瑪把 OB 分成無窮段，其分段點的橫座標從 B 點往 O 點算各為 bc , bc² ,bc³,…,bc^k,…。所以每一分段長並不相等，但成等比數列，愈接近原點線段長愈短。在這些分段上做內逼近矩形，得其面積和為

$\begin{eqnarray*} A(c) &=& (b-bc)(bc)^m + (bc-bc^2)(bc^2)^m + \cdots \\ & & {}+... ... \cdots + c^m)} \\ &=& \frac{b^{m+1}c^m}{1+c+c^2+ \cdots + c^m} \end{eqnarray*}$

這個逼近面積當然和 c 值有關，所以我們用 A(c) 來表。為了使每一分段的長度 bc^k-bc^k+1（=bc^k(1-c)）趨近於 0，我們就讓 c 趨近於 1，這樣 A(c) 就應該趨近於所要求的面積。因為

$\begin{displaymath} A(c) = \frac{b^{m+1}c^m}{1+c+c^2+ \cdots +c^m} , \end{displaymath}$

所以當 c 趨近於 1 時，A(c) 的分子 b^m+1c^m 趨近於 b^m+1，而分母 $1+c+c^2+ \cdots + c^m$ 共有 m+1 項，所以趨近於 m+1，因此曲線 y = x^m 下的面積為 $\frac{b^{m+1}}{m+1}$ 。用現代的符號來表示，則

$\begin{displaymath} \int_0^b x^m dx = \lim_{c \rightarrow 1} A(c) = \frac{b^{m+1}}{m+1} \end{displaymath}$

等式的第一項表曲線 y = x^m 下及在橫座標 0 與 b 之間的面積，讀做函數 x^m 在 0 與 b 之間的定積分。

值得注意的一點是，在 A(c) 化成 $\frac{b^{m+1}c^m}{1+c+c^2+ \cdots + c^m}$ 之前， $A(c) = {\displaystyle \frac{b^{m+1}c^m(1-c)}{1-c^{m+1}} }$ ，如果這時候讓 c 趨近於 1，則分子、分母同時趨近於 0。而 A(c) 趨近於何值就不知道了。這種情形在做極限及求變化率時常常發生，如果學會如何處理這種情形，則極限及微分的技巧就學到大半了。

費瑪的方法沒有所謂的第 n 階段逼近，因為對 0 與 1 之間的任何數 c 我們都可以做一次逼近，要點是最後讓 c 逐漸趨近於 1。如果勉強要分階段，則第 n 階段時令 $c = 1 - \frac{1}{n}$ 就可以了。

用同樣的方法，若 m 為任何大於 -1 的有理數，費瑪也求得

$\begin{displaymath} \int_0^b x^m dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} . \end{displaymath}$

m = -1 時的面積，則和對數函數有關，在此不做進一步討論。另外有一個和費瑪的方法類似，但只用有限個分段而能求得 $\int_a^b a^m dx$ （0 < a < b，m 為不等於 -1 的任何有理數）的辦法，請見本節的習題 9。

習題

由§2的結果證明拋物線下的面積為 $\frac{1}{3} b^3$ 。
用數學歸納法證明
(1) $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$
(2) $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = ( \frac{1}{2} n(n+1))^2$ （ $= (1+2+ \cdots +n)^2$ ）
證明曲線 y = x³ 下的面積可由內逼近面積的極限而得。（即內、外逼近面積差可以任意小。）
說明費瑪的方法確實可以算得

$\begin{displaymath} \int_0^b x^m dx = \frac{b^{m+1}}{m+1} \quad \mbox{($m$ {\fon... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98})} \end{displaymath}$

（提示：令 $m = \frac{q}{p}$ ，p > 0， $c^{ \frac{1}{p} } = a$ ，且分 q 為正、負兩種情形。）
說明費瑪的方法中有些步驟不能用在 m = -1 的情形，並證明 $\int_0^b \frac{1}{x} dx$ 為無窮大。
畫圖說明 y = x^m 及 y = x^-m（m > 0）這兩類曲線的不同處。
由畫圖及積分的結果，比較對不同的 m > 0，曲線 y = x^-m 下面積的不同。
用數學歸納法證明

$\begin{displaymath} \frac{n^{m+1}}{m+1} < \sum_{k=1}^{n} k^m < \frac{n^{m+1}}{m+1} + n^m , \end{displaymath}$

並用此求得曲線 y = x^m 下的面積（此處 m、n 都是正整數）。
設 0<a<b，用下面的方法求 $\int_a^b a^m dx$ ， $m \neq -1$ ，m 為有理數：第 n 階段逼近時，令 $c = \sqrt{ \frac{b}{a} }$ ，將 [a,b] 分成 n 段，分段點各為 ac , ac² , ac³, …, ac^n-1。（m=-1 時的面積和對數函數有關。）

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002