一般簡略的說法說：「微積分是牛頓（1642∼1727）及萊布尼茲（G. Leibniz, 1646∼1716）兩個人發明的。」這句話怎麼講呢？在他們之前不是有許多人做了很多積分及微分的工作嗎？不錯。但是牛頓、萊布尼茲承繼了前人零碎的知識，

一、有系統地發展了微分的技巧，
二、將微分和積分經由微積分基本定理聯在一塊而合流成微積分，
三、使微分、積分的運算系統化，
四、又將微積分成功地應用到物理科學上。

如果把微積分看做一整體性的學問，則無疑地，牛頓與萊布尼茲是這門學問的催生者。我們固然不能否認前人的貢獻，但也得承認牛頓與萊布尼茲是促進微積分發展的第一大功臣。

動態窮盡法雖然使求積進了一大步，可是繁複的步驟以及求和、求極限的困難，都限制了它的應用範圈。而微積分基本定理的發現，不但使看起來毫不相關的求積與求變化率緊密相連，而且使求積的方法有了革命性的突破。基本定理的要義之一，就是說求積是求變化率的反運算，所以會求變化率就能解決許多求積的問題，而微分學經有系統的發展後。求變化率的計算變成遠較求積簡單的一種運算。

在牛頓、萊布尼茲以前，對微分、積分最有貢獻的大概要算費瑪了，可惜他未能體會兩者之間的密切關係。而牛頓的老師巴婁（I. Barrow, 1630∼1677）雖然知道兩者之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數學非常深遠的影響，一般認為，唯有幾何的論證方法才是嚴格的，才是真正的數學，代數也不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費瑪倡導以代數的方法研究幾何的問題。這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能有有效的計算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點，發展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢發展。雖然他用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但為了害怕時人的批評，在他1687年的巨著《Principia》中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。

把微分學從求速度及作切線，轉變成求一般變化率的要首推牛頓。他的微分方法的演變，可分為三個階段，以他的三本有關微積分的書為代表。第一本《論分析》（De Analysi)，於1669年在其朋友間開始流傳，但直到1711年才出版。在《論分析》中，他用的方法和費瑪的類似，屬於無窮小方法。他假設某曲線 y=f(x) 下的面積 z 和 x 的關係為 z=ax^m（m為分數）（見圖十四）。如果 x 增加了無窮小量 o（這是牛頓用的符號，不是零），則面積增加了 oy，所以 z+oy=a(x+o)^m。右邊以二項級數展開得 z+oy = ，消去 z=ax^m，再去掉 o，則得 ， 再去掉 o，得 y=amx^m-1。

圖十四

在這個過程中，牛頓不但給了有系統的微分方法，而且證明了求積可以從變化率著手──微積分基本定理。譬如令 ，則面積為 （）的曲線是 y=x^m-1；反過來說，即曲線 y=x^m-1 下的面積為 。牛頓利用微積分基本定理以及無窮級數，求得許多面積及許多求和（可以化為求面積）的問題。

牛頓的第二本書《流數法與無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，成書於1671年，但直到1736年才出版。他認為「變數」（現代的用語）是隨時間而變動的，而不是由無窮小量所組成的。這種變數 x, y,……稱為「流」(fluent)，而其變化率 , ,……則稱為「流數」(fluxion)。如果 o 是時間的無窮小變化量，則 、 是 x、y 的無窮小變化量。如果 x 和 y 有 y=ax^m 的關係，則 。以下的做法和第一種方法一樣，而得 。若要求 y 對 x 而言的變化率，則以 除以 可得變化率 = amx^m-1。 流數法和第一種方法形式上並沒有什麼差別，而觀念基本上仍然持無窮小看法，但「流」比靜態的無窮小量較具有動態的意義。

牛頓的第三本書《曲線求積法》(Tractatus de Quadratura Curvarum)，成書於1676年，但直到1704年才出版。在這本書中他的做法就是現代的極限方法，但他的極限觀念並不成熟，譬如他不以為極限值是個數，而認為是個「最後」的比值。

雖然牛頓引進了極限方法求變化率，但他並不是極限方法的熱心倡導者。做為自然科學家，他只要能有效地求得變化率，並不在乎求法的邏輯嚴謹。所以有時他用極限方法，有時又回到流數法；有時甚至忘了把流數 、 乘以時間的無窮小變化量 o，來表 x 與 y 的無窮小變化量。而仍以變化率 、 表示變化量。他的從者更是搞不清，甚至認為流數就是無窮小變量，而把它和萊布尼茲的無窮小量「微分式」(differential) 搞混在一起。

萊布尼茲的微分法是以微分式起家的。在他之前，許多人都利用類似§5圖十二中「三角形」PRP₁；P₁ 和 T₁ （或三角形 PRT₁；P₁ 和 T₁ 在無窮小微分法中總是被看成一點）的特有性質。萊布尼茲注意到求斜率實際上就是求「三角形」PRP₁ 的兩邊 P₁R 及 PR 之比。這兩邊分別是 y 軸方向及 x 軸方向的無窮小變量，分別以 dy 及dx 表之，而有斜率 。 既然斜率是兩量之比，為了捨棄無窮小量的神秘性，可把 dx 定義做 x 軸方向的任何變量（不是無窮小），而 dy 就隨著 y 與 x 之間的關係而定義成為（斜率）× dx。這樣 dx、 dy 都是平常的量，而且 還是等於斜率。事實上、萊布尼茲就是這樣定義 dx 和 dy 的，而現代的微積分也是這樣定義的。可是斜率要先有明確的定義後，這樣定義 dx 和 dy 的方法才有意義。但萊布尼茲剛好相反，沒明確地定義斜率就有了 dx 及 dy，然後為了要得到斜率，他還是得把 dy、dx 看成無窮小量，而以其比值為斜率。

因此，在萊布尼茲的著作中，dx、dy 實際上還是脫離不了無窮小量的神秘色彩，這和現代先有斜率（導數）後有普通變量 dx、dy 的看法完全不同。無論是怎樣的看法，dx、dy 都稱為微分式。

萊布尼茲怎樣處理 dx 和 dy，而得到微分式的公式呢？ 首先，他考慮兩個變數 x₁、x₂，而求其乘積的微分式 d(x₁x₂) 與 dx₁、dx₂ 之間的關係。他猜了一陣子，最後給他猜對了：d(x₁x₂) = x₂dx₁ + x₁dx₂。（用現代的微分式觀點，這個式子是對的。）上式中，如果令 x= x₁ =x₂，y=x²，則 dy= d(xx) = xdx + xdx = 2xdx，所以斜率 = ，這是對的。一般假設 dx^m-1 = (m-1)x^m-2dx 是對的（m-1 為正整數），則當 y=x^m 時， dy = dx^m = d(xx^m-1) = x^m-1dx+ xdx^m-1 =x^m-1 dx+ x(m-1) x^m-2 dx = mx^m-1 dx。 所以由歸納法可得：若 m 為正整數，y=x^m，則 dy = mx^m-1 dx，而斜率 = 。

同樣地，他先猜出 與 dx₁、dx₂ 之間的關係是 ，然後導出當 m 為負整數時，y=x^m 的微分式也是 dy=mx^m-1dx。更進一步他沒經證明就大膽地說：不論 m 為任何分數，上式總是對的。

萊布尼茲微分式的關鍵之一，在 d(x₁x₂) = x₂ dx₁ + x₂ dx₂。 這是怎麼得到的呢？d(x₁ x₂) 表量 x₁x₂ 的變量，這個變量是因 x₁ 變成 x₁ + dx₁，x₂ 變成 x₂ + dx₂ 而產生的，所以 d(x₁ x₂) 應該等於 (x₁ + dx₁) (x₂ + dx₂ ) - x₁ x₂ = x₂dx₁ + x₁dx₂ + dx₁dx₂。 現在非得假定 dx₁ , dx₂ 為無窮小變量了。在此假定下，dx₁ dx₂ 比 dx₁ 或 dx₂ 都要小得多，所以可以略去不計，而得 d(x₁ x₂) = x₂dx₁ + x₁dx₂。

萊布尼茲用無窮小的方法求得很多公式，譬如指數函數。對數函數的微分式等。他把積分看成無窮小的和，也知道微積分基本定理，而且更將微分及積分的運算性質和公式做個總整理。而使微積分學變成一套有系統的學問。他的微積分符號非常方便，不久就取代了牛頓的符號，直到現在還是獨他一家，別無分號。

雖然萊布尼茲的論證不嚴格，但他的觀察非常敏銳，知道怎樣的公式才是對的，又設計一套非常方便的符號及運算方法，所以他對微積分的貢獻非常大。其不嚴格處，則有待極限方法的引入後，先定義導數再定義微分式這種方法來補足。

微積分學在牛頓及萊布尼茲手中以嶄新的姿態出現，也在他們的手中發揮了解釋自然現象的最大功效。這方面的貢獻，毫無疑問地。要把牛頓放在第一把交椅上。有了微積分這種犀利的工具，牛頓用他的萬有引力定律及三大運動定律，解釋星球的運行、物體在媒介（如空氣、水等）中的運動；決定星球的密度、地球的偏扁率、行星的日長；解釋並決定地軸旋轉的週期、潮汐的成因與高度等等。

牛頓的後人繼續操著微積分這把牛刀，披荊斬棘，把人類的科技文明帶向空前未有的高度。

1. 用極限的方法求 y=ax^m 的導函數，並和牛頓的第一種方法做比較。
2. 用萊布尼茲的方法，求 y=x^m（m 為負整數）的微分式。
3. 仿文中 d(x₁x₂)=x₂dx₁+x₁dx₂ 的「證法」，「證明」 。
4. 複習二項式 (a+b)^m 的展開式（m 為正整數）。
5. 討論牛頓微分方法的演變。