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微積分史話 (第 6 頁)

曹亮吉

 


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.原載於科學月刊
.作者當時任教於台大數學系
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5. 微分學的醞釀

十七世紀的前三分之二,可以說是微積分學的醞釀時期。那時候因為科學的進步,除了求積的問題外,數學家還考慮種種其他的問題,其中最重要的有:

一、由距離求速度及加速度;反之,由加速度求速度、求距離。
二、作曲線的切線。
三、求函數的極大值、極小值。
四、求曲線長、面積、體積、重心。

第四類問題起源較早,我們大致已經談過。值得補充的是,到十七世紀大家已經知道求曲線長或重心的問題,都可化約成為求面積、體積的問題。

關於第一類問題的第二部分,我們已經談過伽利略的看法。他是對的:由速度函數求積就得到距離函數。

剩下求速度、切線及極大、極小的問題,就是我們這一節所要談的主題──微分學。

由於文明的推進,靜態事物的研究已經不能滿足人類的需要,動態的世界逼著科學家研究起速度來;從純幾何的觀點來看,數學家對任何曲線都要想辦法求其切線,而光學上的需要更促使科學家急著尋找作切線的方法;人總是想用最經濟的辦法做最高度的發揮,而描述自然界現象的函數,往往在其極值時有特殊的物理意義,這種種都使人關心起求極值的問題。

   
 
瞬間

平均速度的觀念很容易使人接受,但(瞬間)速度的觀念則使人類奮鬥良久,才弄得清楚。刻卜勒的行星運動定律、伽利略的落體運動定律、鐘擺、拋射體的運動等等,當時大家有興趣的問題都顯示運動常常不是等速的,所以(瞬間)速度的研究有其必要。最早的想法,瞬間速度就是「瞬間」的平均速度。但「瞬間」到底是多短呢?如果這一「瞬間」沒有長度,則在這一「瞬間」內距離沒有什麼變化,所以

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 109}...
...y{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 147}} } = \frac{0}{0} .
\end{displaymath}

$ \frac{0}{0} $ 不是個數,自然不能表速度,所以此路不通。好了,「瞬間」一定要有長度。但所謂的長度如果是通常觀念中的長度,那麼它的一半不也是長度嗎?那麼「瞬間」怎麼還能稱做「瞬間」呢?此路又不通!那麼「瞬間」到底是什麼?於是有人想出絕招說:「瞬間」的長度為無窮小,它不為 0,但比任何的長度都要小。又遇到了「無窮小」!

同樣地,當時作切線、求極值時都要訴諸無窮小方法。我們談積分的時候,說到無窮小的觀念雖然訴諸直觀,但其運算卻沒有嚴格的基礎,當時只能用一些巧妙的方法求得零星的結果。直到後來才知道用極限的觀念及技巧來代替無窮小,而做嚴格且有系統的處理。求速度、切線、極值這些微分學方面的歷史發展也是一樣,有無窮小的觀念,有巧妙的方法,有極限的方法。

大概說來,積分的觀念容易懂但計算難,而微分正好相反,難懂而易算。為了不使大家像前人一樣,陷入微分觀念的泥沼堙A我們先用極限的方法弄清楚了微分的觀念後,再回過頭來看前人如何在泥沼中用巧妙的方法掙扎著。

例: 設距離 y 與時間 x 的關係為 y=x2,求在時間 x=2 時的(瞬間)速度。

解: 用極限方法的要點就是先看 x=2 附近的區間內的平均速度,然後讓區間逐漸縮小到 2 這一點,看平均速度是否趨近於某定值;如果是,則該定值就被定義為這時刻的(瞬間)速度。

通常區間的選擇方法是從小於 2 的某時刻 x 到 2;同時也考慮從 2 到大於 2 的某時刻 x。不論 x 大於 2 或小於 2,在這區間內的平均速度應該是

\begin{displaymath}
\frac{ \mbox{{\fontfamily{cwM9}\fontseries{m}\selectfont \ch...
...4}\fontseries{m}\selectfont \char 207}}} = \frac{x^2-2^2}{x-2}
\end{displaymath}

因為這個平均速度和 x 的取法有關,所以表成函數

\begin{displaymath}
D(x) = \frac{x^2-2^2}{x-2}
\end{displaymath}

下一步就是要讓 x 趨近於 2,來看看 D(x) 的變化情形。當 x 趨近於 2 時,D(x) 的分子和分母同時都趨近於 0。又是 $ \frac{0}{0} $ 的情形!在 §4 中講費瑪的方法時,不是也遇到這種情形嗎?所以我們知道該怎麼做:先把分子、分母約分,得 D(x) = x +2。現在讓 x 趨近於 2,則知 D(x) 要趨近於 4。用符號及式子寫下來,則有

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 167}...
... } \frac{ x^2-2^2 }{ x-2 }
= \lim_{ x \rightarrow 2}(x+2) = 4
\end{displaymath}

不但在 x=2 可以求得速度,在任一時刻 x=x0,求速度的方法也是一樣:

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 202}...
...c {x^2-x_0^2}{x-x_0}
= \lim_{x \rightarrow x_0} (x+x_0) =2x_0
\end{displaymath}

這種求速度的方法不限於 yx 間要有如 y=x2 的特殊關係,只要 yx 有任何關係 y=f(x),我們都可以考慮在 x0 附近的平均速度

$D(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,然後考慮 $\lim_{x\rightarrow x_0}D(x)$,即當 x 趨近於 x0D(x) 的極限值。如果極限值存在,我們就說該極限值就是在 x0 的速度。

例: 設有曲線 y=x2 ,求經過曲線上一點 P(2, 4) 的切線。

解: 切線是一條直線,現在我們有了其上的一點 (2, 4),如果用點斜式表此切線,則需要求其斜率。設在曲線上任取一點 Q,做割線 PQ(見圖十一)。當 Q 點向 P 點趨近時,割線 PQ 的方向應該趨近於切線的方向,也就是說割線 PQ 的斜率要趨近於切線的斜率。(回想一下「斜」率的意義!)



圖十一

割線的斜率為 $\frac{y-4}{x-2}=\frac{x^2-2^2}{x-2}$。這不就是上例中的 D(x) 嗎?讓 Q 點趨近於 P 點,也就是讓 x 趨近於2,也就是求 $\lim_{x \rightarrow 2}D(x)$,正是上例中的速度。 因為 $\lim_{x \rightarrow 2}D(x) = 4$,所以切線的方程式為 y-4 = 4(x-2)。同理,求過曲線上任一點 (x0, y0) 的切線斜率也就是求 $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$。不但如此,求過一曲線 y=f(x) 上任一點 P(x0, y0) 的切線斜率,其方法和求速度完全一樣:任取曲線上一點 Q(x,y),得割線 PQ 的斜率為 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,而切線的斜率則為

\begin{displaymath}
\lim_{Q \rightarrow p} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\end{displaymath}

   
 
微分

既然求斜率及求速度的方法完全一樣,為了綜合也為了推廣,對任何函數 y=f(x),都可以考慮平均變率 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 及其極限值(瞬間變率) $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。如果極限值存在,則稱此極限值為函數 f(x)x0 的導數(derivative),記做 f'(x)。若 X0 在某範圍內,f'(x0) 都有定義,則 X0f'(x0) 的對應是一種函數,稱做原函數 f(x) 的導函數,記做 f'(x)。 求導數的過程叫做微分 (differentiation),研究變化率及其應用的這門學問叫做微分學 (differential calculus)。用微分的觀點來說,求速度和求斜率是一碼事(即求導數),可以一起考慮。不只如此。凡是想知道一函數 f(x)x0 點因變數 x 而變化的情形,我們就要求其變化率,也就是 f(x)x0 點的導數 f'(x0)。所以從現代的眼光看來,微分是求變化率,而速度與切線斜率只是其中的兩種特例。

導數的一大應用就是決定函數的極大、極小值。把函數 y=f(x) 用曲線表出(見圖十二),則過其極大值或極小值點的切線要平行於 x 軸。所以切線斜率要為 0。因此滿足 f'(x)=0x0,可能(但不一定)就是函數 f(x) 取得極大或極小值的地方。



圖十二

現在來對照一下,在沒極限觀念之前,大家是怎麼求速度、切線及極大、極小值。

   
 
啤酒桶

刻卜勒最先注意到極值與變化率之間的關係。他在計算啤酒桶的體積時,想到了種種的極值問題。譬如,他曾證明內接於一定球內的圓柱體體積,要以直徑與高度之比為 $\sqrt{2} : 1$ 者為最大。他列了一連串圓柱體直徑與高度及其相對應體積的數據,從其中取體積最大者而得其「證明」。在檢視數據時,他發現一項有趣的事實,即,將近極大值時,體積的(隨直徑或高度而變的)變化率變得愈來愈小。根據這種觀察費瑪用無窮小方法解決了一些極值問題。下面是一個例子。

例:設一線段長為 a,將它分成兩段,以之作矩形的兩邊。問如何分法,使所得的矩形面積最大。

解一:(微分的方法)設兩段長各為 xa-x,則面積為 f(x)=ax-x2。 若 x=x0 時有極大值。則求導數 f'(x0)=a-2x0,令其為 0 而得 a=2x0,即將原線段等分可得最大面積。(等周的諸矩形中以正方形的面積為最大。

解二:(費瑪的方法)設兩段為 x0a-x0 時面積最大,則矩形面積為 ax0-x02。設 E 為無窮小量,以 x0+E 代替面積公式中的 x0,而令之與原式相等: a(x0+E) - (x0+E)2 = ax0-x02,化簡得 a0E = 2x0E + E2,除以 E 後得 a=2x0+E,丟掉無窮小量 E,得 a=2x0

根據刻卜勒的觀察,當 f(x) 近於極大值時,其變化率愈來愈小,所以費瑪認為在 x0 及其無窮小近鄰 x0+Ef 值應該相等,這是費瑪方法的關鍵處(妙著!)。得 a=2x0+E 後,因 E 為無窮小,起不了作用,所以過河拆橋就把它丟了(又是一妙著!)。但在求得 a=2x0+E 前要先以 E 去除,否則一下子把 E 丟掉(E=0)則什麼都沒有了──還沒過河不能拆橋!

仔細比較兩種解法,會發現解二其實就是解一:令 x=x0+E,則 a(x0+E)-(x0+E)2 = ax0-x02 就是 f(x)=f(x0);化簡除以 E(=x-x0) 後就得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$;丟掉無窮小 E 其實就是令 x 趨近於 x0,而得 f'(x0)=0

   
 
狡滑的無窮小

費瑪的方法巧則巧矣,但就像積分中的無窮小方法一樣,有許多地方不能令人信服:把 f(x0+E)f(x0) 相等及丟掉 E 時,就是認為 E=0;但用 E 除等式時,則認為 $E \neq 0$,這是無窮小神秘狡滑的兩面性。但是也像積分中的無窮小方法一樣,微分的無窮小方法頗受數學家的激賞,直到兩個世紀後,導數有了嚴格的定義,才能完全取而代之。

   
 
切線

最早的切線觀念,大概是研究圓而有的。早期的數學家認為切線就是只交曲線於一點的直線,而其求法則依曲線而有不同。有了解析幾何,笛卡兒(R. Descartes, 1596∼1650)想到用求重根的方法來求切線的方程式。但如果遇到複雜一點的曲線,則求重根的方法非常不好用,而且切線也不一定只交曲線於一點。另外有一種方法,就是把曲線看成一物體在水平及垂直兩方向有了速度而描出的軌跡,所以切線應該是水平及垂直兩速度向量的合向量。羅伯瓦(G.P. Roberval, 1602∼1675)、托里拆利(E. Torricelli, 1608∼1647)等人就用這種看法求得不少曲線的切線。但曲線怎麼一定和運動有關呢?況且求速度的問題也和求切線的問題一樣,大家還在摸索之中。可是這種看法卻大受歡迎,日後且演變成牛頓的流數法──一種微分法。



圖十三

費瑪求切線的方法如下:設 PT 為過 P 點的切線,交橫軸於 T (見圖十三)。TQ 稱為次切線(subtangent)。費瑪的方法就是想辦法求得 TQ 長,以之決定 T 點,由 T 點就可作切線了。設 QQ1(=E)TQ 方向的無窮小增加量。因 $\bigtriangleup TQP$$\bigtriangleup PRT_1$ 相似,故 $TQ = \frac{E \cdot PQ}{T_1R}$。但 T1R 幾乎和 P1R 相等(因 E 為無窮小),所以用後者代替前者可得

\begin{displaymath}
TQ = \frac{E \cdot PQ}{P_1Q_1-PQ} = \frac{E}{f(x_0+E)-f(x_0)}f(x_0) .
\end{displaymath}

在費瑪所考慮的曲線,上式右邊的分母都很容易提出 E 而與分子的 E 約掉, 然後丟掉 EE=0),求得 TQ 的值。

仔細研究一下,就知道費瑪的方法和現在的極限求導數的方法相近:以 P1R 代替 T1R 就是先以割線代替切線;丟掉 E 就是極限的方法。只是當時動態的極限觀念還待萌芽,只能以具有兩面性的無窮小量來代替了。

這時代求速度或求變化率時所遭遇到的困難和求極值、切線時所遭遇的一樣,大家都沒有明確的極限觀念來處理「瞬間」的問題,只能訴諸神秘的無窮小方法。其典型的技巧及改進的方向將在下一節談到。

   
 
習題

  1. 在求速度的例中,不把 D(x) 的分子分母約分,試用實際的 x 值,如 x = 1.7, 1.8, 1.9, 1.95, 1.99, 1.999, 2.001 ……等,看 D(x) 是否趨近於 4。
  2. f(x) = ax-x2,試用極限法證明 f'(x0) =a-2x0
  3. f(x)=x3,試用極限法證明 f'(x0) = 3x02
  4. 分別用費瑪及求導數的方法證明內接於定球內的圓柱體體積,要以直徑與高度之比為 $\sqrt{2} : 1$ 者為最大。(提示:令 x 為高度,f(x) 為體積。)
  5. 在上題中,試著造數據表說明刻卜勒所觀察到的現象。
  6. 純用幾何方法如何求各種二次錐線的切線。
  7. 用重根法求各種二次錐線的切線?
  8. 用重根法求曲線 y=x3x=1 時的切線,並推而廣之。討論 y = xn(n>3) 時,用重根法求切線有沒有困難。(提示:令切線斜率為 m,則 m 滿足一個三次方程式,此方程式有二解。)

   

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編輯:楊佳芳 / 校對:楊佳芳 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:2/17/2002