優雅美麗的球體

．原載於科學月刊七十二年七月號
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋

優雅美麗的球體

曹亮吉

有一天當你在適當距離的太空中，望著月球或地球時，你一定會認為球體是空間中最優雅美麗的立體。「適當的距離」很重要：太遠了。就像妳在地上舉頭望明月。不太像是個球體。只有圓盤的感覺；太近了，就像只緣生在地球上的人。沒法直接看清地球的形狀。

從船艦入港，先見其桅，麥哲倫之壯舉，都可推知：地面是彎曲的，可繞回原地的。但從純幾何的觀點來看。月蝕時，地球的陰影總是圓形的這件事，更可肯定地是球形的，因為各個方向的投影都是圓形的幾何體一定是球體；古時候很多天文學者就是因此相信地是球說。

和球體有關的數學，一方面來自天文、地理，如球面三角學。球面幾何學。地圖及著色問題等；另一方面從純數學的觀點，探討球體的性質，如球體的體積、表面積、（內接）正多面體等。科學月刊已陸續登過許多這些方面的題材 ^註1 。以下我們要專談較少提及的球體體積及球面面積。

求球體體積最主要的人物，在中國為南北朝的祖沖之 ^註2 ，在西方則數阿基米德。前者善用祖氏原理，後者則長於槓桿原理。把這個看來無從下手的問題給解決了。

圖一

要了解祖氏原理，先看一個例子：如圖一，設有兩個等高約三角形，其底邊長各為 a 與 b。因平行於底邊，且高度相同的兩截線 CD,EF 之比總是 a:b，所以兩三角形的面積比應該也是 a:b。把這種看法推面廣之，就得到一般的祖氏原理如下：

兩平面區域（或兩空間物體）。若有相同的高度，而平行於底邊（或面）。且高度相同的兩截線（或面）的長度（或面積）比如果為值，則兩區域（或物體）的面積（或體積）比就是該定值。

其實，從積分公式來看，祖氏原理也不過說：如果 f(x):g(x)=a:b，則 $\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx:\int^{\beta}_{\alpha}g(x)dx=a:b$ 。這個原理雖然簡單，但運用巧妙，往往有驚人的表現；我們且看祖沖之的招式。

圖二

圖三

把球體看成由一層層的圓盤所疊成。把每個圓盤用一個外切正方框起來。則這些正方形所疊成的立體稱為牟合方蓋（圖二為牟合方蓋的上半部，而整個造形就是兩種像是餐桌上擋蒼蠅用的桌罩反向疊合而成的，故名）。圓盤與外切正方形約面積比為 $\pi :4$ ，所以根據祖氏原理，球體與牟合方蓋的體積比也是 $\pi :4$ 。其次，將一長等於球體面徑 2r 的正立方體套在牟合方蓋的外面。稱立方體減去牟合方蓋所剩的立體為甲。以立方體上下兩底為底。以球心為頂點，所成的兩方錐合稱為乙。現在又要比較等高處甲、乙兩立體的截面積。設球心到截面的高度為 h，則球截面圓盤的半徑為 $\sqrt{r^2-h^2}$ 。因此牟合方蓋截一面的邊長為 $2\sqrt{r^2-h^2}$ ，所以甲截面（圖三中斜線部分）的面積為

$\begin{displaymath}(2r)^2-(2\sqrt{r^2-h^2})^2=4h^2,\end{displaymath}$

它正好等於乙截面的面積。那麼甲的體積正好要等於乙的體積 $\frac{8}{3}r^3$ 。如此就得

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55}\hs... ...6}}]\\ &=&\frac{\pi}{4}(8r^3-\frac{8}{3}r^3)=\frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$

阿基米德求積的看家本領則為槓桿原理，求得球體體積是其具體運用的極致。我們且看槓桿原理如何和球體積掛鉤。

圖四

如圖四。先看左下角的圓及三角形。將它們繞圓的直徑 AB 一圈，就得一半徑為 r 的球體和高及底面半徑各為 2r 的圓錐體。考慮離 A 點 h 處的截面。設此處球體截面圓盤的半徑為 a。則截面積為 $\pi a^2 = \pi h(2r-h)$ ，而圓錐體截面的半徑為 h；所以其面積為 $\pi h^2$ 。兩者相加再乘以 2r，則得

$\begin{displaymath} 2r(\pi a^2+\pi h^2)=h \cdot \pi (2r)^2 \: . \end{displaymath}$

等式的左邊可看成將兩截面掛在槓桿左端 C 點所得的力矩，而等式的右邊則是一半徑為 2r 的圓盤掛在離平衡點 O,h 處的 F 點所得的力矩。左右兩式相等表示槓桿呈平衡狀態。現在變動截面，將球體及圓錐體的所有截面全掛在 C 點，那麼 C 點掛的是一個球體和一個圓錐體。為維持平衡，槓桿右邊的每一點都要掛上一個半徑為 2r 的圓盤；這些圓盤組成了一個高及半徑各為 2r 的圓柱體（將圖四右下角的長方形繞中線 A'B' 一圈所得的就是）。由於對稱的關係。這個圓柱體可看成是掛在 OD 的中點 E 的。亦即在 E 點掛上圓柱體可以和 C 點掛著的球體及圓錐體達成平衡。依槓桿原理。就得

$\begin{displaymath} r \cdot \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \c... ...0.1pt{\fontfamily{cwM19}\fontseries{m}\selectfont \char 86}}). \end{displaymath}$

因為圓柱體及圓錐體的體積各為 $8\pi r^3$ 及 $\frac{8}{3}\pi r^3$ ，由上式馬上就可以導出球體的體積 ^註3 。

至於球面的面積，至少有兩種簡單的求法。一種相當於積分，一種相當於微分。

圖五

先說微分的方法，如圖五。如果將球體的半徑 r 增大成 r+s，以之做新球，則新舊兩球間體積之差為

$\begin{displaymath} \frac{4}{3}(r+s)^2-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}(3r^2s+3rs^2+s^2) \: . \end{displaymath}$

因兩者之間的「厚度」為 s，所以上式除以 s 所得的量

$\begin{displaymath}\frac{4}{3}(3r^2+3rs+s^2)\end{displaymath}$

其大小要介於新舊兩球表面積之間；且因 s 愈小，新舊兩球表面積之差愈要趨近於 0。所以讓上式中的 s 趨近於 0，所得的極限值 $4\pi r^2$ 就是球體的表面積。

圖六

積分的方法是這樣的。如圖六，AB、CD 都平行於 X 軸，而交 Y。將圓繞 Y 軸一圈就得球面，而 $\widehat{BD}$ 則繞成一個環帶。這個環帶的面積和長為 $2 \pi \cdot \overline{BE}$ ，寬為 $\widehat{BD}$ 的長方形很近似； $\overline{EF}$ 愈小愈近似看成直線 BD。所以這條環帶的面積幾乎等於 $2\pi \cdot \overline{BE} \cdot \overline{BD}$ 。但是因為 $\triangle OEB$ 與 $\triangle BGD$ 相似（ $\overline{EF}$ 很小時，把 BD 想成是過 B 點的切線），所以 $\overline{BE} \cdot \overline{BD}$ $= \overline{OB} \cdot \overline{BG}$ $= \overline{OB} \cdot \overline{EF}$ $= r\cdot\overline{EF}$ ，因此環帶的面積幾乎等於 $2 \pi r \cdot \overline{EF}$ 。將 Y 軸分割成為小 EF 之和，再將各環帶的面積相加，就得球面的面積為

$\begin{displaymath}2\pi r \sum \overline{EF}=2 \pi r \cdot 2r =4 \pi r^2\end{displaymath}$

不但實際的球體優雅美麗，抽象的數學球體的性質漂亮，這些性質的證明也令人激賞。


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最後修改日期：2/17/2002