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遺傳與數學 (第 4 頁)

林仁混

 

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.原載於科學月刊第十卷第二期
.作者當時任教於台大醫學院生化學研究所
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二項式在遺傳上的應用

   
 
生男育女費猜疑

1676年牛頓發現了二項式的展開式; 到十七世紀時數學家伯努利才把二項式的展開式應用到遺傳學上。 生男育女本是極平常的事,其或然率卻可用二項式的展開式來預測。 設生男的機會為p,則育女的機自為1-pq。 在理論上 $p=q=\frac{1}{2}$,若一對夫婦一連生下二個小孩, 其生男育女之或然率為:

(p+q)2=p2+2pq+q2

二個都是男的機會為 $p^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$; 一男一女的機會為 $2pq=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$; 二個都是女的機會為 $p^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$, 假如一連生下三個小孩,其生男育女之或然率為:

(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3

連生三個都是男孩的機會為 $p^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$; 二男一女的機會為 $3p^2q=3(\frac{1}{2})^2\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$, 一男二女的機會為 $3p^2q=3(\frac{1}{2})^2\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$; 一連生三個千金的機會為 $p^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$

數學家喜歡用一般式來表示二項式展開式;

\begin{displaymath}
\frac{n!}{m!(n-m)!} p^mq^{n-m}
\end{displaymath}

n=小孩子的數目; $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1$

m=生男發生之次數;p為生男的機會,q為育女之機會。

問;在10個小孩的家庭堙A6 男 4 女發生之機會為多少?

答:

\begin{displaymath}
\frac{10!}{6!(10-6)!}(\frac{1}{2})^6(\frac{1}{2})^{10-6}=
\f...
...times 2\times1}
(\frac{1}{2})^6(\frac{1}{2})^4=\frac{105}{512}
\end{displaymath}

   
 
哈定-溫伯(Hardy-Weinberg)定律

該定律是族群遺傳學(population genetics)的基本定律。 它是由英國數學家哈定及德國醫生溫伯(Weinberg)分別推論出來。 在一族群中有很多基因型之出現;若要計算其頻率就要借助於哈定-溫伯定律。 通常這些基因型在族群中出現之機會已達到平衡的狀況。又稱哈定-溫伯平衡。 此時任何一個基因之頻率都符合二項式(p+q)2之展開式p2+2pq+q2=1。 吾人必須注意者,在自然界中之突變、選擇等對上述平衡有干擾作用, 但仍不能阻止其趨向平衡。

哈定-溫伯定律之重要啟示,是各種基因型在一族群中之頻率代代相同。 在一平衡之族群中基因型TT,Tt,tt之頻率各為p2,2pq,q2。 該族群經過任意交配之後,各種基因型出現於後代之情形如表一所示。 可見基因型TT,Tt及tt之頻率依然為p2,2pqq2

表一:哈定-溫伯定律之

交配之基因型 出現之頻率   後代  
    TT Tt tt
TT×TT p4 p4    
TT×Tt 4p3q 2p3q 2p3q  
TT×tt 2p2q2   2p2q2  
Tt×Tt 4p2q2 p2q2 2p2q2 p2q2
Tt×tt 4pq3   2pq3 2pq3
tt×tt q4     q4

說明:在親代交配之基因型之頻率TT:p2Tt:2pqtt:q2。 又p2+2pq+q2=1

TT型之後代 =p4+2p3q+p2q2=p2(p2+2pq+q2)=p2

Tt型之後代 =2p3q+2p2q2+2p2q2+2pq3=2pq(p2+2pq+q2)=2pq

tt型之後代 =p2q2+2pq3+q4=q2(p2+2pq+q2)=q2

因此,後代各種基因型TT,Tt及tt意又保持p2,2pqq2之頻率。

哈定-溫伯定律之應用在於計算基因頻率與雜合子之頻率。 假如某一種遺傳疾病基因型之頻率(q2)已知, 則可求出基因頻率(q):

若已知 $q^2=\frac{1}{10000}$

q之頻率為 $\sqrt{\frac{1}{10000}}=\frac{1}{100}$

正常基因p之頻率為 $1-q=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$

所以雜合子之頻率為 $2pq=2\frac{99}{100}\frac{1}{100}\cong\frac{1}{50}$ 在一般情形正常基因之頻率 $p\longrightarrow1$, 所以雜合子之頻率為 2pq=2 x 1 x q=2q

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:3/19/2002