中國π的一頁滄桑 (第 4 頁)

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中國π的一頁滄桑（第 4 頁）

洪萬生

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．原載於科學月刊第八卷第五期
．作者當時任教於師大數學系
‧對外搜尋關鍵字

四、連分數的計算

取 π 值的近似值 $\alpha=3.14159265$ ，這個數值準確到小數點第八位數。規定 [α] 表示 α 的整數部份，即 [α]=3。設 p=314159265，q=100000000，則 $\alpha=\frac{p}{q}$ 是一個有理數。

令 $a_0=[\alpha]=[\frac{p}{q}]=3$ ，而

$\begin{displaymath}\frac{p}{q}=[\frac{p}{q}]+\frac{1}{\alpha_1},0\leq\frac{1}{\alpha_1}<1\end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath}p=[\frac{p}{q}]q+\frac{q}{\alpha_1}(=r_1),\quad 0\leq r_1<q \eqno{(1)},\end{displaymath}$

r₁=14159265, $\alpha_1=\frac{q}{r_1}=\frac{100000000}{14159265}$ 。令 $a_1=[\alpha_1]=[\frac{q}{r_1}]=7$ ，同理可知

$\begin{displaymath}\frac{q}{r_1}=[\frac{q}{r_1}]+\frac{1}{\alpha_2},\quad 0\leq\frac{1}{\alpha_2}<1 ,\end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath}q=[\frac{q}{r_1}]r_1+\frac{r_1}{\alpha_2}(=r_2),\quad 0\leq r_2<r_1 \eqno{(2)},\end{displaymath}$

r₂=885145, $\alpha_2=\frac{r_1}{r_2}=\frac{14159265}{885145}$ 。令 $a_2=[\alpha_2]=[\frac{r_1}{r_2}]=15$ ，同理可知

$\begin{displaymath}\frac{r_1}{r_2}=[\frac{r_1}{r_2}]+\frac{1}{\alpha_3},\quad 0\leq \frac{1}{\alpha_3}<1, \end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath}r_1=[\frac{r_1}{r_2}]r_2+\frac{r_2}{\alpha_3}(=r_3),\quad0\leq r_3<r_2\eqno{(3)},\end{displaymath}$

r₃=872090, $\alpha=\frac{r_2}{r_3}=\frac{872090}{885145}$ 。令 $a_3=[\alpha_3]=[\frac{r_2}{r_3}]=1$ ，同理可知

$\begin{displaymath}\frac{r_2}{r_3}=[\frac{r_2}{r_3}]+\frac{1}{\alpha_4},\quad 0\leq\frac{1}{\alpha_4}<1,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}r_2=[\frac{r_2}{r_3}]r_3+\frac{r_3}{\alpha_4}(=r_4),\quad 0\leq r_4<r_3\eqno{(4)}\end{displaymath}$

r₄=13055, $\alpha_4=\frac{13055}{872090}$ 等等。由於

$\begin{eqnarray*} \alpha &=& [\alpha]+\frac{1}{\alpha_1} \quad (\alpha=\frac{p}... ...a_2] + \frac{1}{\textstyle [\alpha_3] + \frac{1}{\alpha_4} }}} \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} 3.14159265 = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{\textstyle 15 + \frac{1}{\textstyle 1 + \frac{13055}{872090}}}} \end{displaymath}$

馬上可以曉得 3.14159265 的漸近連分數依次是： $\frac{3}{1}$ （徑一周三）， $3+\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$ （疏率）， $3+\frac{1}{7+\frac{1}{15}}=\frac{333}{106}$ ， $3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}}=\frac{355}{113}$ （密率），最後這一個近似值 $\frac{355}{113}$ 是略去 $\frac{13055}{872090}$ 所得到的，恰好是祖沖之的密率。更令人驚異的是：根據漸近分數的理論，分母不超過 113 的任何分數，沒有一個能比 $\frac{355}{113}$ 更接近於 π 值。這一項漂亮的「巧合」，不知道風靡了多少近代的數學史家，為它獻身，為它搔白了頭！

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元

最後修改日期：5/28/2002