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.原載於科學月刊第十七卷第十一期
.作者當時任教於中央數學系
 

談補間法

王九逵

 
 


補間問題

假定 t(x) 是一個不超過 n 次的多項式函數,再假定我們已經知道 t(x)n+1 個不同的點 x0,x1,…,xn 的值為 y0, y1,…,yn,我們計算它在另一點 $\bar{x}$ 的值 $ t( \bar{x} )$,這個問題叫作補間 (Interpolation) 問題。

讓我們再用解析幾何的語言把問題重新敘述一下;如果我們把 xi,yi 看成平面上一點 Pi 的坐標,問題便可改述成下形式:給了平面上的 n+1 個點 P0, P1,…,Pn,其橫坐標兩兩相異,我們想找一條代表 n 次多項式的曲線通過這些點。

大凡我們碰到一個數學問題時,我們首先想知道這問題有沒有解,如果有解,其次我們便想知道解是不是唯一的,如果確只有唯一解,我們還想用把這解用某種辦法找出來,最後,如果我們能用某種方式解這問題,我們還想找到一個便捷的方法。

補間問題的解一定存在,而且是唯一的;這是很容易證明的事,假定所求的多項式為

\begin{displaymath}
t(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n ,
\end{displaymath}

那麼條件

t(xi) = yi

可以改寫成

\begin{eqnarray*}
a_0 x^n_0 +a_1 x^{n-1}_0 + \cdots + a_n = y_0, \\
a_0 x^n_1 +...
...\qquad \cdots \\
a_0 x^n_n + a_1 x^{n-1}_n + \cdots + a_n = y_n
\end{eqnarray*}


這可以看成 n+1 個未知數 a0,a1,…,an 的一次聯立方程組。其係數的行列式為

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{ccccc}
x^n_0 & x^{n-1}_0 & \cdots &...
...right\vert
= (x_0 -x_1)(x_0 - x_2)\cdots(x_{n-1} - x_n) \neq 0
\end{displaymath}

所以聯立方程式有唯一的解,我們可以用消元法求出唯一的一組係數 a0, a1,…,an。 有了這些係數後,對任意 ${\bar{x}}$ 我們都能把 $ t( \bar{x} )$ 計算出來。

所以補間問題不但確定唯一的解,而且在理論上我們總可以解它。但事實上如果未知數一多,解聯立方程式的消元法就變得非常棘手。因此我們希望找出一些比消元法更簡捷的方法來解補間問題。

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:2/17/2002