談補間法 (第 5 頁)

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談補間法（第 5 頁）

王九逵

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．原載於科學月刊第十七卷第十一期
．作者當時任教於中央數學系
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用補間法求函數的近似值

設一函數 f(x) 在 n+1 個點 x₀,x₁,…,x_n 的值為已知。這可能是查表或由實驗方法得到的，我們常常希望知道 f(x) 在另外一點 $\bar{x}$ 的值 $f(\bar{x})$ 。如果 f(x) 是 n 次多項式，那麼 $f(\bar{x})$ 便可用補間法求得，如果 f(x) 不是 n 次多項式呢？我們常常把 f(x) 假想成 n 次多項式 t(x)，計算 $f(\bar{x})$ 的值。用來當作 $f(\bar{x})$ ，那麼從公式(*)知所得的誤差便是 R 項。但 R 會不會比較小呢？讓我們從一個實例來看：
設

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{1+x^2}, x_i = -5 + \frac{10}{n}i,y_i = f(x_i),\\ i = 0,1,\cdots,n \end{array}\end{displaymath}$

下表列出一些 $f(\bar{x})$ 及對不同分法所得的 $t( \bar{x} )$ 的值

橫座標 1.02 2.34 3 3.88 4.15 4.91

縱座標 .490100 .154426 .100000 .062288 .054877 .039282

間隔數補間法

2 .959985 .789400 .653846 .420985 .337596 .072765

3 .282394 .237239 .201357 .139718 .117644 .047542

5 .497362 .245889 .100000 .-039084 -.054607 .015979

8 .549575 .095381 .304934 .-088744 -.493703 -.436237

13 .504128 .180056 .059542 .210689 .138629 -.719234

21 .487368 .160295 .088963 -.131822 .430804 -16.8226

34 .490012 .154238 .108813 -.824165 3.45266 10063.8

50 .487850 .154304 .100000 6.75082 13.3392 -4418379

觀察這表我們可以看出當 x 趨近於 0 時，誤差實在不大，但當 x=4.91 時，誤差隨分點數增加到不可言喻的程度，所以用補間法求近似值，雖屬可行，但未必有把握行得到。到底在什麼條件下才行得通呢？這還是數學上一個沒有完全解決的問題。

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編輯：康明軒

最後修改日期：2/17/2002