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談補間法 (第 4 頁)

王九逵

 

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.原載於科學月刊第十七卷第十一期
.作者當時任教於中央數學系
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埃德肯 (Aitken) 的補間法

上述的牛頓的補間公式拉格朗日補間公式雖然都很重要,但在計算的便捷上,遠遠不如埃德肯的補間法。

仍設 (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn) 為平面上的 n+1 個點,其橫坐標兩兩不同,設 t(x) 為滿足

\begin{displaymath}
t(x_i)=y_i, \quad i=0,1,\cdots,n
\end{displaymath}

n 次多項式,r(x) 為滿足

\begin{displaymath}
r(x_i)=y_i, \quad i=0,1,\cdots,n-1
\end{displaymath}

n-1 次多項式,s(x) 為滿足

\begin{displaymath}
s(x_i)=y_i, \quad i=0,1,\cdots,n-2,n
\end{displaymath}

n-1 次多項式,則由牛頓差商補間公式得

\begin{displaymath}
t(\bar{x})=r(\bar{x})+t_{0,1,\cdots,n-1}(x_n)(\bar{x}-x_0)\cdots(\bar{x}-x_{n-1})
\end{displaymath}

同理

\begin{displaymath}
t(\bar{x})=s(\bar{x})+t_{0,1,\cdots,n-2,n}(x_{n-1})(\bar{x}-x_0) \cdots
(\bar{x}-x_{n-2})(\bar{x}-x_n)
\end{displaymath}

但從差商的定義顯然有

\begin{displaymath}
t_{0,1,\cdots,n-1}(x_n) = t_{0,1,\cdots,n-2,n}(x_{n-1})
\end{displaymath}

因此

\begin{displaymath}
(\bar{x}-x_n)t(\bar{x})+A=(\bar{x}-x_n)r(\bar{x}),
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
(\bar{x}-x_{n-1})t(\bar{x})+A=(\bar{x}-x_{n-1})s(\bar{x})
\end{displaymath}

式中

\begin{displaymath}
A=t_{0,1,\cdots,n-1}(x_n)(\bar{x}-x_0)(\bar{x}-x_n)
\end{displaymath}

故得

\begin{displaymath}
t(\bar{x})=
\frac{
\left\vert
\begin{array}{ll}
(\bar{x} - x...
...
\bar{x} - x_n \mbox{\quad \quad} & 1
\end{array}\right\vert}
\end{displaymath}

應用此公式,Aitken 得到他計算 $ t( \bar{x} )$ 的方法:他仿照差商製成一表:

\begin{displaymath}
\begin{array}{cccccc}
\bar{x} - x_0 & y_0 & & & & \\
\bar{x...
...\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\
\end{array}\end{displaymath}

其中各元素都可寫作如上二行列式之商,例如

\begin{displaymath}
y_{0,1,3} =
\frac{
\left\vert
\begin{array}{ll}
\bar{x} - x_...
...& 1 \\
\bar{x} - x_3 \mbox{\, \,} & 1
\end{array}\right\vert}
\end{displaymath}

表的右下角便給出 $ t( \bar{x} )$ 的值了。

   

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編輯:康明軒 最後修改日期:2/17/2002