談補間法 (第 2 頁)

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談補間法（第 2 頁）

王九逵

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．原載於科學月刊第十七卷第十一期
．作者當時任教於中央數學系
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牛頓的差商補間公式

和補間問題很有關係的一個觀念是差商(difference quotient 或 divided difference), 設 x₀,x₁,…,x_n 是兩兩不同的一串實數，再設 f(x) 是對一切 x 值都有意義的函數。令

$\begin{displaymath} f_i(x) = \frac{ f(x) -f(x_i) }{x-x_i} , i=0,1,2,\cdots \end{displaymath}$

則 f_i(x) 叫 f(x) 關於 x_i 的一階差商，從解析幾何的觀點來看，f_i(x) 表示連接 (x_i,f(x_i)) 和 (x,f(x)) 兩點的直線的斜率，對一切 $\neq x_i$ 的 x 值，f_i(x) 都是有意義的。

我們可以作 f_i 的一階差商

$\begin{displaymath} f_{i,j} (x) = \frac{f_i(x)-f_i(x_j)}{x-x_j} , \qquad j \neq i \end{displaymath}$

這叫作 f(x) 的二階差商，除了 x_i,x_j 兩點以外，f_i,j(x) 都有意義。仿此我們可以作 f(x) 的逐次高階差商 $f_{i,j,\cdots,k}(x)$ 。

把 0,1,2,… 依次作新足標 (subscript)，可以將 f(x) 的逐次差商排成下列圖形：

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} x_0 & f(x_0) &&&&& \\ x_1 & f(x_1) &... ...ots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots& \cdots \\ \end{array}\end{displaymath}$

這樣的圖形叫 f 的差商表 (lozenge diagram)，表中第三行以後每項都是其左邊一項與該項所在行頂上一項的差被最左行對應項除的商。例如

$\begin{displaymath} f_{0,1}(x_4) = \frac{f_0(x_4)) - f_0(x_1)}{x_4 - x_1} \end{displaymath}$

從逐次差商的定義我們可以得到

$\begin{eqnarray*} (*) \qquad f(x_{n+1}) &=& f(x_0)+f_0(x_{n+1})(x_{n+1}-x_0) \\ ... ...n)(x_{n+1}-x_0)(x_{n+1} - x_1)\\ &&\cdots(x_{n+1}- x_{n-1}) + R \end{eqnarray*}$

式中

$\begin{displaymath} R=f_{0,1,\cdots,n}(x_{n+1})(x_{n+1}-x_0)(x_{n+1}-x_1) \cdots (x_{n+1} - x_n) \end{displaymath}$

現在讓我們看一看 x,x²,x³ 關於 0,2,7,-3,8 諸點的差商表：

$\begin{displaymath} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x & x & & & & & & x & x^2 & & ... ...8 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & \, & 8 & 64 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{array}{rrrrrr} x & x^3 & & & & \\ 0 & 0 & & & & \\... ...& -27 & 9 & -1 & 1 & \\ 8 & 512 & 64 & 10 & 1 & 0 \end{array}\end{displaymath}$

從這些表的觀察，我們可以猜想：如果 k>n，則 xⁿ 的第 k 階差商必恒為 0，事實上這是對的，我們可以用數學歸納法來證明：

很明顯的 $x^0 \equiv 1$ 的各階差商都是 0，假如我們已經知道定理對 x⁰,x¹,…,x^n-1 都成立，令 f(x) = xⁿ 因為

$\begin{displaymath} f_0(x)=\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} = x^{n-1}+x_0x^{n-2}+\cdots+x_0^{n-1} \end{displaymath}$

是一個 n-1 次的多項式，所以 f₀ 的 n 階以上差商都是 0，因此如果 k>n，則 k-1>n-1，於是

$\begin{displaymath} f_{0,1,\cdots,k}(x) = \frac{f_{0,1,\cdots,k-1}(x_k)-f_{0,1,2,\cdots,k-1}(x_0)}{x_0 - x_k} = 0 \end{displaymath}$

從而有

: 定理（牛頓） n 次多項式的第 n+1 階以上的差商全是 0。

現在回到公式(*),假定 f(x)=t(x) 是一個 n 次多項式，則R=0，以 $\bar{x}$ 代 x_n+1 便得

$\begin{eqnarray*} t(\bar{x}) &=& t(x_0) + t_0(x_1)(\bar{x}-x_0) \\ && {} + t_{0... ...n-1}(x_n)(\bar{x}-x_0)(\bar{x} - x_1) \cdots (\bar{x} - x_{n-1}) \end{eqnarray*}$

這便是牛頓的補間公式。

一般說來，牛頓補間公式並不十分好用──這是由於製作差商表時要作很多次除法的緣故，但若 x_i = a+ih，其中 a 及 h 為定數，我們用 y_i 表示 t(x_i)，用 $\triangle y_i$ 表示 y_i+1 -y_i，用 $\triangle^2 y_i$ 表示 $\triangle y_{i+1} - \triangle y_i$ 等等，這些 $\triangle^k y_i$ 叫作 y_i 的差分 (finite differences)，而牛頓補間公式可以改寫為

$\begin{displaymath} t(a+sh) = y_0 + {s \choose 1} \triangle y_0 + {s \choose 2} \triangle^2 y_0 + \cdots + {s \choose n} \triangle^n y_0 \end{displaymath}$

式中

$\begin{displaymath} {s \choose k} = \frac{s(s-1) \cdots (s-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot k} \end{displaymath}$

這叫作牛頓的差分補間公式，是數值分析 (numerical analysis) 中的一個基本公式。

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編輯：康明軒

最後修改日期：2/17/2002