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韓信點兵 (第 4 頁)

莫宗堅

 



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.原載於科學月刊第一卷第一期
.作者當時任教於普渡大學數學系

註釋
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四、

時日匆匆,不覺又過了幾百年。隆盛的漢室逐漸衰敗崩潰,大漢皇朝走上末代皇朝的老路:貴族橫行不法,民眾困苦不堪。結果魏、蜀、吳互相攻伐,白骨遍野,死傷相藉。在這樣一個時代,東山隱者 1 結廬於深山,逃避戰亂、專心著述。

一日,雨過天晴,陽光普照,東山隱者捧著剛寫成的《孫子算經》欣喜地坐在青山下,凝神遐想。

布衣荊釵的東山隱姜提著一籃蕨薇,涉溪而來。

「夫子大功告成了罷?!」隱姜問道。

「大功告成了。但願這本《孫子算經》能流傳後世。自從《周髀算經》、《九章算術》問世以後,這幾百年民間傳誦發揚的算術道理,從來沒有人整理編輯。希望這本書能在這方面盡些力氣。隱姜,你說我為什麼偽托孫子?」隱者問道。

「喲!幾十年來,難道我還不明白你的心思嗎?自從東漢以後,重名不重實,又加上戰亂,只有清談玄理、陰謀詭詐的人才算高明。何況你雖遊遍天下,可是一不交結巨公顯宦,又不到處吹噓隱者之名,一輩子也成不了名動天下的「大隱(?)」所以,如果你不偽托孫子,那麼這本書一定湮沒失傳,幾百年來多少人的心血也會成空。此其一。」

「其二呢?」隱者點頭微笑問道。

「那更容易。還不是介子推老夫子的那句話「貪天之功,以為己力」,孔丘老夫子的那句「述而不作」。必須積累無數人力與 時間去摸索與探測,才能逐漸了解及發現真理。總括大成者,怎 能攘為己有,作此盜名欺世之事。」

「真吾妻也!真吾妻也!」隱者哈哈大笑。「數百年來流傳的韓信點兵問題,在這本書裡,也有一個較好的解法了。」

「那太好了,就請你指點吧。」隱姜說。

「原題是『三數剩二,五數剩三,七數剩二』。現在我們先求『三數剩一,五數不剩,七數不剩』的解答。我們可以從三十五的倍數中,找『三數剩一』的數目,譬如說,七十就是一個解答 。再求『三數不剩,五數剩一,七數不剩』的解答。在二十一的倍數中,二十一本身就是一解。另外求『三數不剩,五數不剩,七數剩一』的解答。在十五的倍數中,十五本身適合『七數剩一』。七十,二十一,十五這三個數是解答這個問題的關鍵。這類數目可以定名為『用數』。把這三個用數分別乘剩數,二,三,二,然後相加。七十乘二得一百四十,二十一乘三得六十三,十五乘二得三十。一百四十,六十三,三十,三數相加得二百三十三。這就是原題的一個解答。另外用三乘五再乘七得一百零五,二百三十三加減一百零五的倍數就可以得到所有解答了。所以算出二十三,一百二十八等等都是解答。」

「這樣說來,終於求得『韓信點兵問題』的公式了。嗯,韓信手下可能祇有二十三名兵卒,竟然驚走漢高祖劉邦,可見算術的神奇莫測!」隱姜讚許道。

隱者談鋒很健,又繼續發揮道:

「天象周期循環不息,比如說,月的盈虧現象,五星(當時知道的辰星、太白、熒惑、鎮星、歲星,也就是現在水星、金星、火星、土星、木星)運行現象,日夜循環現象,四季輪替現象等等。凡是周期現象都孕含剩數的道理。普通計時用的月份、日期、時辰都是運用剩數觀念。剩數觀念源遠流長,以後一定蔚為大宗。可是那要等到天下太平民物鼎盛的時代了。到那時算術才能蓬勃發展,剩數的精深觀念,才能得到闡揚啊!那才真正夠得上『神鬼不測之機』。」

隱者與隱姜坐在青山下,出神遙想千年萬載後的中國。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:5/25/2002