Green 定理與應用 (第 5 頁)

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Green 定理與應用（第 5 頁）

林琦焜

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．原載於數學傳播第二十一卷第四期
．作者當時任教於成功大學數學研究所
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五、向量形式之 Green 定理

由(9)與(16)兩式，我們自然而然引進向量的概念：

$\begin{eqnarray*} F(x,y) &=& (P(x,y),Q(x,y))=P \overrightarrow{i}+Q \overrightar... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 190})} \end{eqnarray*}$

另外向量場 F 的旋度 (curl) 為

$\begin{displaymath} \mbox{curl} F= \nabla \times F = \left\vert \begin{array}{cc... ... \frac{\partial P}{\partial y}) \overrightarrow{k} \eqno{(18)} \end{displaymath}$

散度 (divergence) 則為

$\begin{displaymath} \mbox{div} F = \nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \eqno{(19)} \end{displaymath}$

所以 Green 定理（(9),(16)）可改寫為

$\begin{displaymath} \oint_C F\cdot d\overrightarrow{r}= \oint_C F\cdot \tau ds ... ...cal{R}} \nabla \times F \cdot \overrightarrow{k}dA \eqno{(20)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \oint_C F \cdot \nu ds = \int \!\! \int \nabla \cdot F dA \eqno{(21)} \end{displaymath}$

分別表示切向量與法向量形式的 Green 定理，而其物理則分別是「功」(work) 與「通量」(flux)，(20),(21) 兩式可推廣至更高維數空間，就是通稱的 Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem)。

為何 $\mbox{curl} F$ ， $\mbox{div} F$ 會被稱為旋度與散度呢？我們考慮特殊的區域 $\mathcal{R}$ 是以 (x₀,y₀) 為圓心，半徑是 r 的圓，則由連續性知

$\begin{eqnarray*} \nabla \times F(x_0,y_0)\cdot \overrightarrow{k} &=& \lim_{r\r... ...}{\pi r^2} \oint_C F\cdot \nu ds \qquad\qquad\qquad \eqno{(22)} \end{eqnarray*}$

所以旋度是單位面積內之最大環流 (circulation)，而散度則是單位面積內之通量（流量之變化），這個形式最大的好處不受座標的影響，如(18),(19)兩式，而且透過(22)式（即利用 Green 定理）我們可證明旋度和散度是與座標無關。

註 1：如果 $F=\nabla \phi = (\phi_x ,\phi_y)$ ，向量 (vector) F 為純量(scalar) $\phi$ 之梯度 (gradient) 則(21)式可改寫為

$\begin{displaymath} \oint_C \frac{\partial \phi}{\partial \nu}ds = \oint_C \na... ...dA = \int \!\! \int_{\mathcal{R}} \Delta \phi dA \eqno{(23)} \end{displaymath}$

函數 $\phi$ 稱為位能函數 (potential function) 而

$\begin{displaymath} \triangle=\nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \eqno{(24)} \end{displaymath}$

則是出名的 Laplace 算子，這是偏微分方程中最重要的算子。

註 2：若取 $F=(u \nabla v)$ ，則由向量之計算得

$\begin{displaymath} \nabla \cdot F = \nabla \cdot (u \nabla v)=u(\nabla\cdot\nabla v)+ \nabla v\cdot \nabla u \end{displaymath}$

因此(21)式成為 Green 第一等式

$\begin{displaymath} \oint_C u \frac{\partial v}{\partial \nu} ds = \int \!\! \i... ...al{R}} [u \triangle v + \nabla u \cdot \nabla v]dA \eqno{(25)} \end{displaymath}$

若 u,v 互換，後兩式相減則可得 Green 第二等式

$\begin{displaymath} \oint_C \left \vert \begin{array}{cc} u & v \\ \frac{\p... ... \Delta u & \Delta v \end{array} \right \vert dA \eqno{(26)} \end{displaymath}$

這些等式在偏微分方程中扮演著非常重要的角色。

註 3： Green 定理的最好處理手法是利用微分形式 (differencial forms)，我們簡單說明如下：線積分

$\begin{displaymath} \oint_C Pdx + Qdy \end{displaymath}$

之被積函數 (integrand) 為一階微分形式 (first order differential form)

$\begin{displaymath} L= P(x,y)dx + Q(x,y) dy \eqno{(27)} \end{displaymath}$

L 之全微分 (total differential form) 為

$\begin{eqnarray*} dL &=& dPdx + dQ dy \\ &=& (P_x dx+P_ydy)dx + (Q_xdx+Q_ydy)dy \\ &=&(Q_x-P_y)dxdy \qquad \qquad \qquad \eqno{(28)} \end{eqnarray*}$

因此 Green 定理可重新寫為微分形式 (differential form)

$\begin{displaymath} \oint_C Pdx + Q dy = \int \!\! \int_{\mathcal{R}}(\frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial p}{\partial y})dxdy \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Longleftrightarrow{} \oint_C L = \int \!\! \int_{\mathcal{R}} d L \eqno{(29)} \end{displaymath}$

這個公式同時也說明在區域 $\mathcal{R}$ 之積分及其邊界之積分兩者之關係，而實際上就是微積分基本定理之推廣，當然其精神則是──分部積分 (integration by part)。

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002