Green 定理與應用 (第 3 頁)

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Green 定理與應用（第 3 頁）

林琦焜

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．原載於數學傳播第二十一卷第四期
．作者當時任教於成功大學數學研究所
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三、線積分之物理意義

一質點受一變化的力作用而沿一已知曲線移動，而求其所作的功 (work)，就自然導致所謂的線積分。

平面上任意向量 F=(u,v)，而其沿著曲線切向量 $(\cos \tau ,\sin \tau)$ ，法向量 $(\cos \nu , \sin \nu)$ 之分量分別為

$\begin{eqnarray*} F_\tau &=& F \cdot (\cos \tau , \sin \tau) = u \cos \tau + v \... ..., \sin \tau) = u \cos \nu + v \sin \nu \qquad\qquad \eqno{(4)} \end{eqnarray*}$

因為 $\tau , \nu$ 為互餘

$\begin{displaymath} \cos \tau = - \sin \nu, \quad \sin \tau = \sin \nu \eqno{(5)} \end{displaymath}$

而單位切向量、單位法向量為

$\begin{displaymath} (\cos \tau, \sin \tau ) = (\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}) \: ,... ...os \nu, \sin \nu) = (\frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds}) \eqno{(6)} \end{displaymath}$

如果將 F 視為力，則線積分

$\begin{displaymath} \begin{array}[t]{c} \oint_C F_\tau ds = \oint_C udx + vdy \\... ...\fontseries{m}\selectfont \char 138}) } \end{array} \eqno{(7)} \end{displaymath}$

所代表的意義就是功 (work)。其次是若將 F 視為電流密度 (current density) 或流體速度，則線積分

$\begin{displaymath} \begin{array}[t]{c} \oint_{C} F_\nu ds = \oint_C udy - vdx \... ...\fontseries{m}\selectfont \char 190}) } \end{array} \eqno{(8)} \end{displaymath}$

所代表的意義就是電通量 (flux) 或流體流通過曲線 C 之通量，我們在後面還會針對這兩個量作更深入之探討。

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002